問題を行列を使って表すと

　　［ｘ，ｙ］［ａ，ｂ／２］［ｘ］

　　　　　　　［ｂ／２，ｃ］［ｙ］

　　［Ｘ］＝［ｐ，ｑ］［ｘ］

　　［Ｙ］　［ｒ，ｓ］［ｙ］

と変数変換すると，

　　［ｘ］＝［ｐ，ｑ］^-1［Ｘ］

　　［ｙ］　［ｒ，ｓ］ ［Ｙ］であるから，

問題は

　　［Ｘ，Ｙ］t^［ｐ，ｑ］^-1 ［ａ，ｂ／２］［ｐ，ｑ］^-1［Ｘ］

　　　　　　　 ［ｒ，ｓ］ ［ｂ／２，ｃ］［ｒ，ｓ］ ［Ｙ］

　これを整理すると

　　ａ’Ｘ^2＋ｂ’ＸＹ＋ｃ’Ｙ^2＝ｍ

になるが，２つの判別式の間には

　　ｂ’^2−４ａ’ｃ’＝（ｐ’ｓ’−ｑ’ｒ’）^2（ｂ^2−４ａｃ）

という関係かある．ｐ’ｓ’−ｑ’ｒ’＝±１であれば

　　ｂ’^2−４ａ’ｃ’＝ｂ^2−４ａｃ

すなわち，不変式になる．

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　なお，ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｍでなく，二項係数を用いると

　　ａｘ^2＋２ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｍ

　この問題を行列を使って表すと

　　［ｘ，ｙ］［ａ，ｂ］［ｘ］

　　　　　　　［ｂ，ｃ］［ｙ］

となって，行列がきれいに表される．

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