２つの整数の平方和として表される整数を求める問題は，古代ギリシャで議論されている．

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｍ

　これを一般化すると

　　ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｍ　　（ａ，ｂ，ｃ，ｍ：整数）

の整数解を求める問題になる（１８世紀）．

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［１］判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＝０のとき，完全平方式になる．

　　ｇ（ｐｘ＋ｑｙ）^2＝ｍ

　　ｇはａ，ｂ，ｃの最大公約数，＠，ｑｈａ互いに素な整数

　　ｇＸ^2＝ｍ

［２］判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＜０のとき，平方の和になる．

　　（２ａｘ＋ｂｙ）^2＋｜Ｄ｜ｙ^2＝４ａｍ

　　Ｘ^2＋｜Ｄ｜Ｙ^2＝４ａｍ

［３］判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＞０のとき，平方の差になる．

　　ｇ（ｐｘ＋ｑｙ）（ｒｘ＋ｓｙ）＝ｍ

　　ｇＸＹ＝ｍあるいは

　　（２ａｘ＋ｂｙ）^2−Ｄｙ^2＝４ａｍ→Ｘ^2−ＤＹ^2＝４ａｍ

　統一的に眺めると

　　ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｍ　　（ａ，ｂ，ｃ，ｍ：整数）を

　　Ｘ＝ｐｘ＋ｑｙ，Ｙ＝ｒｘ＋ｓｙ

と変数変換し

　　ａ’Ｘ^2＋ｂ’ＸＹ＋ｃ’Ｙ^2＝ｍ

に帰着させることである．

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