■因数分解の算法(その24)

 3元数とか5元数とかはない.しかし,結合法則を犠牲にすると,ケーリーの8元数が得られる.

 多元体は1次元,2次元,4次元,8次元の4種,すなわち,実数体,複素数体,4元数,8元数体に限られるのである.

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【3】8元数の行列表示

 行列のかけ算では結合法則が成り立つから,4減数は行列で表現できたけれども8元数はダメである.

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 なお,8元数:

  i^2=j^2=k^2=l^2=m^2=n^2=o^2=−1,

  i=jk=lm=on=−kj=−ml=−no,

  j=ki=ln=mo=−ik=−nl=−om,

  k=ij=lo=nm=−ji=−ol=−mn,

  l=mi=nj=ok=−im=−jn=−ko,

  m=il=oj=kn=−li=−jo=−nk,

  n=jl=io=mk=−lj=−oi=−km,

  o=ni=jm=kl=−in=−mj=−lk

では,乗法の結合法則も破れていて(a(bc)≠(ab)c),積の交換法則も結合法則も成り立ちませんが,それでも分配法則は成り立っています.行列は結合法則を満たすので,8元数は行列の一部とはみなせないのです.なお,結合法則が成り立たない数の体系(非結合的な体)としては,8元数,リー代数,ジョルダン代数の3つが代表的です.

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