２つの実数の組（ａ，ｂ）・・・２元数

に対して

［１］加法

　　（ａ，ｂ）＋（ｃ，ｄ）＝（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）

［２］乗法

　　（ａ，ｂ）×（ｃ，ｄ）＝（ａｃ−ｂｄ，ａｄ＋ｂｃ）

［３］スカラー倍

　　ｅ×（ａ，ｂ）＝（ｅａ，ｅｂ）

と定義する．

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　すると

　　（ａ，ｂ）＝ａ（１，０）＋ｂ（０，１）

とかけて，

　　（０，１）×ｂ（０，１）＝（−１，０）＝−（１，０）　　

であるから，（１，０）を１，（０，１）をｉで表すと，

　　（ａ，ｂ）＝ａ＋ｂｉ

複素数となる．

　このアイデアを，３つの実数の組（ａ，ｂ，ｃ）・・・３元数

４つの実数の組（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）・・・４元数，・・・に拡張する．

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　そうすると，４元数は

　　ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ

となるが，その際，基底同士の乗法を

　　ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ

　　ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ

　　ｉｉ＝ｊｊ＝ｋｋ＝−１

と定義する．しかし，ハミルトンは，これにより交換法則だけは犠牲にすることになった．

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