（その４）より

　　Σ（１／ｐ^2）＜π^2／６−１≒０．６

　それでは下限についてはどのような評価ができるだろうか？

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　その前に，リーマンのゼータ関数

　　ζ（ｓ）＝Σ１／ｎ^s，ｓ＝σ＋ｉｔ

は素数分布論において基本的な役割を果たす関数である．

　ζ（ｓ）は素数ｐとオイラー積ζ（ｓ）Π（１−ｐ^-s）^-1で結ばれる．これらの無限和，無限積はσ＞１で定義されるが，解析接続よって，ｓ＝１（σ＝１，ｔ＝０）を除く全複素平面に拡張される．

　ｓ＝１はζ（ｓ）のただひとつの極であり，（ｓ−１）ζ（ｓ），ζ（ｓ）−１／（ｓ−１）は整関数となる．

　素数分布論において重要なのは０≦σ≦１における零点であって，素数定理はσ＝１上に零点のないこと，ζ（σ＋ｉｓ）≠０と同等である．

　リーマンは０≦σ≦１におけるすべての零点がσ＝１／２にあると予想した．これがいわゆるリーマン予想であるが，今日でも未解決の難問である．

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　今日，数学における未証明問題として謎に包まれているリーマン予想とは，ゼータ関数の０点はすべて虚軸に平行で右側の直線上に存在するというものですが，この仮説が正しければ素数分布に関する重要な結論が導き出せるといわれています．

　たとえば，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．

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