【３】回文性

　また，√１９９の循環節の最後の２８を除くと１３を中心として対称になっていることにも気付かされます．

　　√１９＝［４；２，１，３，１，２，８，・・・］

　　√２９＝［５；２，１，１，２，１０，・・・］

　　√４３＝［６；１，１，３，１，５，１，３，１，１，１２，・・・］

　　√５４＝［７；２，１，６，１，２，１４，・・・］

　　√７６＝［８；１，２，１，１，５，４，５，１，１，２，１，１６，・・・］

　　√９４＝［９；１，２，３，１，１，５，１，８，１，５，１，１，３，２，１，１８，・・・］

　　√１０００＝［３１；１，１，１，１，１，６，２，２，１５，２，２，６，１，１，１，１，１，６２，・・・］

　循環部の最後の項を除いた部分は回文（前から読んでも後から読んでも同じ）になっているという事実も，１９９のみならず，２次の無理数√ｍに共通していえる性質です．

　　√ｍ＝［ｑ0；ｑ1，ｑ2，・・，ｑ2，ｑ1，２ｑ0，・・・］

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【４】周期１の整数

　以上のことから，最も素朴な循環連分数は

　　√ｍ=［ｑ0；２ｑ0，２ｑ0，２ｑ0，・・・］

で表されるものと考えられます．

　このとき，

　　Ｐ＝２ｑ0^2＋１，Ｑ＝２ｑ0

より，ｍは

　　（２ｑ0^2＋１）^2−ｍ・４ｑ0^2＝±１

を満たす整数となるのですが，結局，このようなｍは

　　ｍ＝ｑ0^2＋１＝２，５，１０，・・・

となることが導き出されます．

　　√２＝［１；２，２，２，・・・］

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

　　√１０＝［３；６，６，６，・・・］

　　√１０１＝［１０；２０，２０，２０，・・・］

　しかし，他の整数の平方根はかなり長い周期を持つが，長周期を予言する公式はないようである．

　　√６１＝［７；１，４，３，１，２，２，１，３，４，１，１４，・・・，

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