どの整数も４つの平方数の和で表される（ラグランジュの定理）．この性質は以前から知られたものであったが，証明は１７７２年のラグランジュまで待たなければならなかった．

　ウェアリングの問題とは，この問題を一般化して，各ｎに対し，どの数もｇ（ｎ）個のｎ乗数の和で表されるようなｇ（ｎ）を求めよという問題をウェアリングが提出したことによる．

　ヒルベルトはどんなｎに対してもｇ（ｎ）は必ず存在することを証明したが，ｇ（ｎ）の値を完全に決めることはできなかった．

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［１］９三乗数和定理

　どの整数も９つの立方数の和で表される．とはいえ，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3

　それ以外の数はすべて８個でうまくいく．リニックはもう少し例外を降らして立方数の数を７にまで減らした．実際，十分大きな整数は，高々７つの立方数の和となる．

　ダヴェンポートはほとんどすべての整数がたった４つの立方数の和となることを証明した．４個より多くの立方数は必要な数として，知られている最大の数は７３７３１７０２７９８５０で，これより大きい数は存在しないと予想されている．証明されてはいないが，有限個の例外を認めた場合の立方数の数は４だと考えられているのである．

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［２］１９四乗数和定理

　十分大きな整数は高々１６個の４乗数の和で表される．整数を表すときに必要となる４乗数の個数は１９以上３５以下であるがわかっていた．後に１９個で確定した．

　１９個の４乗を必要とする数は，

　　７９＝４・２^4＋１５・１^3

など，たった７つの数だけが１９個の４乗数を必要とする．５５９はそれらの中で最大のものである．

　　５５９＝４^4＋４^4＋２^4＋２^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4＋１^4

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