［１］ｙ^3＝（ｘ＋２）^4＋ｘ^4を解け．

［２］ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n-1，ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n+1には無限に多くの自然数解が存在する．

［３］ｘ^2＋ｙ^3＝ｚ^4の有理数解を決定せよ．

［４］ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^3の整数解を決定せよ．

［５］ｍ^3と（ｍ＋１）^3の間には必ずｎ^2が存在する．そのようなｎはｎ＝ｋ^2＋（ｋ＋１）^2の形で表される．

［６］ｘ^y＝ｙ^xの有理数解を決定せよ．

［７］ｘ^y−ｙ^x＝１の整数解はｘ＝３，ｙ＝２のみである（カタラン予想）

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　ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3＋ｗ^3＝ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝２の整数解をもとめることは

　　２ｘ＝Ｘ−Ｙ−Ｚ＋１

　　２ｙ＝−Ｘ＋Ｙ−Ｚ＋１

　　２ｚ＝−Ｘ−Ｙ＋Ｚ＋１

などと変換すると

　　Ｘ^2＋Ｙ^2＋Ｚ^2＋２ＸＹＺ＝１

の整数解を求めることに帰着される．

［Ｑ］三角形の余弦法則を用いて，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋２ｘｙｚ＝１

の有理数解を決定せよ．

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