■ピタゴラス三角形に関連する問題

 直角三角形では,斜辺をc,他の二辺をa,bとすると,ピタゴラスの定理「a^2+b^2=c^2」が成り立つことはよく知られています.特に,三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます.3元2次の不定方程式a^2+b^2=c^2の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが,(a,b,c)=(3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(20,21,29),(12,35,37),(9,40,41),・・・などがその解です.

 ピタゴラス三角形に関連する問題は昔から数多く考えられてきましたが,やよえば,直角三角形の面積は6の倍数ですが,それが平方数となる(a,b,c)は存在しません.

[1]ピタゴラス三角形の面積は平方数にならない.

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[2]周長が平方数になるピタゴラス三角形は無限に多く存在する.そのなかで,最小のものは何か?

[3]同じ周長をもつ3つのピタゴラス三角形のなかで,最小のものは

(a,b,c)=(3255,5032,5993),(7055,168,7057),(119,7080,7081)の3組の三角形である.

[4]同じ面積をもつ3つのピタゴラス三角形のなかで,最小のものは

(a,b,c)=(4485,5852,7373),(19019,1380,19069),(3059,8580,9109)の3組の三角形である.

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