■おかあさんのための数学教室(その95)

[Q]n→∞のとき,数列

   Sn=1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・+1/n!

が,数列 Tn=(1+1/n)^n と同じ極限eに収束することを示せ.

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(証)2項定理により,

  Tn=1+n・1/n+n(n-1)/2!・1/n^2+・・・+n!/n!・1/n^n

   =1+1+(1-1/n)・1/2!+・・・+(1-1/n)(1-2/n)(1-(n-1)/n)・1/n!

 n→∞のとき

  Tn→1+1/1!+1/2!+1/3!+・・・+1/n!+・・・=e

 分母の階乗の値が急速に増大するため,数列Snは非常に速く収束しますが,数列Tnの極限値を直接計算するのは収束が遅くて非効率的です.

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