■おかあさんのための数学教室(その88)

 ピタゴラス数は

  x^2+y^2=z^2

を満たす自然数の三つ組み(x,y,z)のことである.

(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(29,420,421),・・・

 概ピタゴラス数を

  x^2+y^2=z^2±1

を満たす自然数の三つ組み(x,y,z)とする.たとえば(5,5,7)は概ピタゴラス数である.

[Q]概ピタゴラス数の例をみつけよ.

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[A]x^2±1=z^2−y^2=(z+y)(z−y)=a・b

 因数分解(z+y)(z−y)において

  z+y=a

  z−y=b

とおくと,2z=a+b,2y=a−bより,a,bはともに偶数かともに奇数でなければならないことがわかる.

 したがって,xを選び,x^2±1を計算して,それを同じ偶奇性をもつ2つの約数の積に分解する手順を踏めば,概ピタゴラス数の例をみつけることができる.たとえば

 x=5 → x^2−1=24=12・2 → y=5,z=7

 x=5 → x^2−1=24=6・4 → y=1,z=5

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 しかし,これらは二等辺三角形で,とくに後者は「概直角三角形」にはみえないだろう.x,y,z>1でx≠y,x≠z,y≠zのものを見つけたい.

 x=7 → x^2−1=48=12・4 → y=4,z=8

 x=8 → x^2+1=65=13・5 → y=4,z=9

 x=17 → x^2−1=288=24・12 → y=6,z=18

 x=18 → x^2−1=325=25・13 → y=6,z=19

他には

(7,11,13),(8,31,32),(8,9,12),(8,32,33),(9,19,21),(10,49,50),(10,15,18),(10,50,51)など

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