■概ピタゴラス数(その2)

  x^3+y^3=z^3

を満たす自然数の三つ組み(x,y,z)は存在しないが

  x^3+y^3=z^3±1

を満たす自然数の三つ組み(x,y,z)は存在するとする.たとえば

  6^3+8^3=9^3−1

[Q]x^3+y^3=z^3±1の例をみつけよ.

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[A]x^3±1=z^3−y^3=(z−y)(z^2+zy+y^2)=a・b

 因数分解(z−y)(z^2+zy+y^2)において

  z−y=a

  z^2+zy+y^2=(z−y)^2+3zy=b

とおいても,a,bの偶奇性は不明である.個別に見つけるしかない.

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[Q]x^3+y^3=9^3−1=728を満たす整数解(x,y)をすべて求めよ.

[A]x^3+y^3=(x+y)(x^2−xy+y^2)=7・8・13

[1]x^2−xy+y^2=7・8・13,x+y=1

[2]x^2−xy+y^2=8・13,x+y=7

[3]x^2−xy+y^2=7・13,x+y=8

[4]x^2−xy+y^2=7・8,x+y=13

[5]x^2−xy+y^2=13,x+y=7・8

[6]x^2−xy+y^2=8,x+y=7・13

[7]x^2−xy+y^2=7,x+y=8・13

[8]x^2−xy+y^2=1,x+y=7・8・13

  x+y=A,x^2−xy+y^2=B

  x^2−x(A−x)+(A−x)^2=B

  3x^2−3Ax+A^2−B=0

  x=1/6・{3A±(12B−3A^2)^1/2}

に代入すると(x,y)=(6,8),(8,6)が得られる.

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