■切稜多面体(その34)

[Q]凧型24面体もどきを「2つの面心」Fを通るように最大切稜すると・・・

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[A]

  A(0,0,3/2)

  B(1,0,1)

  C(3/4,−3/4,3/4)

  D(0,−1,1)

  F(1/2,−1/2,1)・・・BDの中点

AB(1,0,−1/2)

この線上の点は(k,0,−k/2+3/2)と表されるが,直交条件は

 k+(1/2)^2k−3/4=0,k=3/5

 G(3/5,0,6/5)

平面の方程式はx+2z=d

面心F(1/2,−1/2,1)を通るから,d=5/2

面心F(1/2,1/2,1)を通るから,d=5/2

AD(0,−1,−1/2)

この線上の点は(0,−k,−k/2+3/2)と表されるが,直交条件は

 k+(1/2)^2k−3/4=0,k=3/5

 G(0,−3/5,6/5)

平面の方程式は−y+2z=d

面心F(1/2,−1/2,1)を通るから,d=5/2

面心F(−1/2,−1/2,1)を通るから,d=5/2

x+2z=5/2

−y+2z=5/2

では(x,y)=(0,0)としてz=5/4であるから

(x,y,z)=(0,0,5/4)・・・四角錐の頂点

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CB(1/4,3/4,1/4)

この線上の点は(k/4+3/4,3k/4−3/4,k/4+3/4)と表されるが,直交条件は

2{(1/4)^2k+3/16}+(3/4)^2k−(3/4)^2 =0

2{k+3}+9k−9=0,k=3/11

 G(9/11,−6/11,9/11)

平面の方程式は3x−2y+3z=d

面心F(1/2,−1/2,1)を通るから,d=11/2

面心F(1,−1/2,1/2)を通るから,d=11/2

CD(−3/4,−1/4,1/4)

この線上の点は(−3k/4+3/4,−k/4−3/4,k/4+3/4)と表されるが,直交条件は

2{(1/4)^2k+3/16}+(3/4)^2k−(3/4)^2 =0

k=3/11

 G(6/11,−9/11,9/11)

平面の方程式は2x−3y+3z=d

面心F(1/2,−1/2,1)を通るから,d=11/2

面心F(1/2,−1,1/2)を通るから,d=11/2

3x−2y+3z=11/2

2x−3y+3z=11/2

x=−y=zとして,(x,y,z)=(11/16,−11/16,11/16)・・・三角錐の頂点

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 これでは4平面は1点で交わらず,内接球をもてないことになる.

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