【１】アダマール行列

　アダマール行列Ｈnは＋１か−１の要素をもつｎ×ｎ行列で，その行と列は互いに直交している．各行または列のノルム（各要素の２乗和）はｎであるから，

　　ＨnＨn’＝Ｈn’Ｈn＝ｎＩn

が成り立つ．

　最も簡単なアダマール行列は

　　Ｈ2 ＝［１，　１］

　　　　　［１，−１］

である．すべての他のアダマール行列はｎ＝４ｋであることが必要である．

　とくに興味深いのは「直積」

　　Ｈ4＝Ｈ2×Ｈ2（２^2×２^2行列），

　　Ｈ8＝Ｈ2×Ｈ2×Ｈ2（２^3×２^3行列），

　　Ｈn＝Ｈ2×Ｈ2×Ｈ2・・・（２^n×２^n行列）

によって，Ｈ2から得られるｎ＝２^mのシルベスタ型のアダマール行列で，

　　　　　［１，　１，　１，　１］

　　Ｈ4 ＝［１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，　１，　１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，　１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，　１，　１，−１，−１］

　　Ｈ8 ＝［１，−１，−１，　１，　１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，−１，−１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，−１，　１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，−１，−１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，−１，　１，−１，　１，　１，−１］

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【２】アダマール行列の直積

　なお，Ａ（ｍ×ｎ行列）とＢ（ｍ’×ｎ’行列）の直積（クロネッカー積）は，２つの行列の各要素を直接乗じて作る（ｍｍ’×ｎｎ’）行列である．直積では第１項の各要素をその項と第２項との積で置き換えることによって定義される．

　両者の成分のすべての積を作り，各要素を（ｃi'j'）＝（ａijｂkl）において，

　　ｉ’＝ｉ＋ｍ（ｋ−１）

　　ｊ’＝ｊ＋ｎ（ｌ−１）

の式にしたがって並べると，

　　１≦ｉ≦ｍ，１≦ｊ≦ｎ，１≦ｋ≦ｍ’，１≦ｌ≦ｎ’

より，

　　１≦ｉ’≦ｍｍ’，１≦ｊ’≦ｎｎ’

　また，正方行列Ｘ（ｎ×ｎ行列）とＹ（ｍ×ｍ行列）の直積の固有値は，Ｘのｎ個の固有値とＹのｍ個の固有値の積である．テンソルの数学的定義はそれが何であるかよりも座標変換に対していかに振る舞うかによって規定するから，理解しにくいかもしれない．

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