行列の積ＸＹに対して，交換子積［Ｘ，Ｙ］は

　　［Ｘ，Ｙ］＝ＸＹ−ＹＸ

で定義される．

　たとえば，２次行列

　　Ｅ＝［０，１］　　Ｆ＝［０，０］　　Ｈ＝［１，　０］

　　　　［０，０］　　　　［１，０］　　　　［０，−１］

は

　　ＥＦ＝［１，０］　　ＥＨ＝［０，−１］　　ＦＨ＝［０，０］

　　　　　［０，０］　　　　　［０，　０］　　　　　［１，０］

　　ＦＥ＝［０，０］　　ＨＥ＝［０，１］　　ＨＦ＝［　０，０］

　　　　　［０，１］　　　　　［０，０］　　　　　［−１，０］

より，　　

　　［Ｅ，Ｆ］＝ＥＦ−ＦＥ＝［１，　０］＝Ｈ

　　　　　　　　　　　　　　［０，−１］

　　［Ｈ，Ｅ］＝ＨＥ−ＥＨ＝［０，２］＝２Ｅ

　　　　　　　　　　　　　　［０，０］

　　［Ｈ，Ｆ］＝ＨＦ−ＦＨ＝［　０，０］＝−２Ｆ

　　　　　　　　　　　　　　［−２，０］

によって特徴づけられている．

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【１】反対称性

　　［Ｘ，Ｙ］＝ＸＹ−ＹＸ

　　［Ｙ，Ｘ］＝ＹＸ−ＸＹ＝−［Ｘ，Ｙ］

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【２】ヤコビ恒等式

　　［［Ｘ，Ｙ］，Ｚ］＝［Ｘ，［Ｙ，Ｚ］］−［Ｙ，［Ｘ，Ｚ］］

　上の行列を使って具体的に検証してみると，

　［［Ｅ，Ｆ］，Ｈ］＝［Ｈ，Ｈ］＝０

　［Ｅ，［Ｆ，Ｈ］］＝［Ｅ，２Ｆ］＝２Ｈ

　［Ｆ，［Ｅ，Ｈ］］＝［Ｆ，−２Ｅ］＝２Ｈ

よって，

　［［Ｅ，Ｆ］，Ｈ］＝［Ｅ，［Ｆ，Ｈ］］−［Ｆ，［Ｅ，Ｈ］］

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