■ワイソフ多胞体研究会(その5)

 立方体の中心を通る断面を考える.うまく切ると正六角形が現れる.これを座標を使って考えてみよう.

 立方体の8個の頂点を(±1,±1,±1)とし,(1,1,1)と(−1,−1,−1)を結ぶ対角線に直交する平面:x+y+z=0で切った切り口を求めると,

  (−1,0,1),(0,−1,1)

  (−1,1,0),(1,−1,0)

  (1,0,−1),(0,1,−1)

となり,正六角形f=(6,6)が得られるというわけである.シュレーフリ・ワイソフ記号では{3}(11)と表される.

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 n次元の超立方体を,中心を通って空間対角線に垂直な超平面で切った切り口のn−1次元立体がどのようなものか,調べてみたい.

 4次元では16個の頂点を(±1,±1,±1,±1)とし,切断面:x+y+z+w=0で切った切り口を求めると,+1は2個,−1が2個の座標をもつ6頂点

  (−1,−1,1,1),(−1,1,−1,1),(1,−1,−1,1)

  (−1,1,1,−1),(1,−1,1,−1),(1,1,−1,−1)

からなる図形であること判明する.これは正八面体f=(6,12,8)である.シュレーフリ・ワイソフ記号では{3,3}(010)と表される.

 5次元でも同様に32個の頂点を(±1,±1,±1,±1,±1),切断面:x1+x2+x3+x4+x5=0で切った切り口を求めると,+1は2個,−1が2個,0が1個の座標をもつ30頂点からなる図形f=(30,60,40,10)である.シュレーフリ・ワイソフ記号では{3,3,3}(0110)と表される.

 6次元では,+1は3個,−1が3個の座標をもつ20頂点からなる図形f=(20,90,120,60,12)である.シュレーフリ・ワイソフ記号では{3,3,3,3}(00100)と表される.

 7次元では,+1は3個,−1が3個,0が1個の座標をもつ140頂点からなる図形f=(140,420,490,280,84,14)である.シュレーフリ・ワイソフ記号では{3,3,3,3,3}(001100)と表される.

 8次元では,+1は4個,−1が4個の座標をもつ70頂点からなる図形f=(70,540,1120,980,448,112,16)である.シュレーフリ・ワイソフ記号では{3,3,3,3,3,3}(0001000)と表される.

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