（その１）のように，円の有理点全体は１つの変数ｍによって一意化できますが，円ばかりではなく，現在では２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかであって，たとえば，ｘ^2＋ｙ^2＝３（半径√３の円）の上には有理点は１つも存在しません．このことは，互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れないということからわかります．

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【３】半径√３の円

　３で割り切れる整数は２乗しても３で割り切れますが，３で割り切れない整数の２乗は３で割って１余る数になります．

　　（３ｎ＋１）^2＝３（３ｎ^2＋２ｎ）＋１

　　（３ｎ＋２）^2＝３（３ｎ^2＋４ｎ＋１）＋１

　ｘ^3＋ｙ^3＝３が有理点（ｐ／ｒ，ｑ／ｒ）をもつならば

　　（ｐ／ｒ）^2＋（ｑ／ｒ）^2＝３

　　ｐ^2＋ｑ^2＝３ｒ^2

ただし，ｐ，ｑ，ｒのうちどれかひとつは３で割り切れないものと仮定する．

　すると．ｐ^2＋ｑ^2は３の倍数であるが，前述したように，３で割り切れない整数の２乗は３で割って１余るので，ｐ^2，ｑ^2は３で割り切れなければならない．→ｐ，ｑは３で割り切れなければならない．

　ｐ＝３ｐ’，ｑ＝３ｑ’を代入すると

　　９ｐ’^2＋９ｑ’^2＝３ｒ^2

　　３ｐ’^2＋３ｑ’^2＝ｒ^2

ｒ^2したがってｒは３で割り切れなければならない．

　ｐ，ｑ，ｒのどれも３で割り切れることになってしまい，仮定に反する（矛盾）．かくして，ｘ^3＋ｙ^3＝３は有理点をもたないことが示された（背理法）．

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