周期倍分岐は２次写像だけの性質ではなく，たとえば，

　　ｘn+1＝ｒｓｉｎπｘn

でも生じ，実際のところ，どのような単峰写像が反復されたとしても，同一の収束半径

　　（λn+1−λn）／（λn−λn-1）→４．６６９２・・・

が出現する．

　ここでは，円筒面（０≦ｘ≦＜π，−∞＜ｙ＜∞）で，定義された面積保存写像

　　ｙn+1＝ｙn＋ｒｓｉｎπｘn，ｘn+1＝ｘn＋ｙn+1　　（ｘｍｏｄ２π）

を考える．

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【１】不変曲線の崩壊とカオスの海

　このとき，円筒面を１周する２つの周期軌道が存在する（不変曲線）．

［１］回転数ω＝１／φの準周期的軌道が構成する不変曲線と回転数１−ω＝１／φ^2の準周期的軌道が構成する不変曲線は同様の性質をもつ．

［２］回転数ω＝１／φに収束する

｛ｐn／ｑn｝＝｛１／１，１／２，２／３，３／５，５／８，８／１３，・・・｝

と用意して，周期倍分岐を起こす臨界値ｒを求め，臨界値が集積する値を不変曲線が崩壊する値と定義すると

　　ｒ＝０．９７１６３５４０６３１

が得られる．

　周期倍分岐は２次写像でも，面積保存写像でも生じるか，不変曲線が崩壊してできるカオスの海は，面積保存写像でしか生じないとのことである．

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