（その１２），（その１３）を補足．

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【３】拡大体Ｆp^2

　前節では，ｆ（ｘ）＝０が根をもつ場合を考えましたが，逆に，根が一つもなかったらどうなるのでしょうか？　

　答えを先にいうと，環Ｆp［ｘ］をｍｏｄｆ（ｘ）で考えた剰余環を

　　Ｆp［ｘ］／ｆ（ｘ）

と記すのですが，ｆ（ｘ）が既約ならば

　　Ｆp［ｘ］／ｆ（ｘ）

は体となります．

　すなわち「剰余体になる」が答えですが，証明には興味がないので，ここでは根が一つもないような方程式を利用して，有限体Ｆpを拡大したＦp^2を具体的に構成することにします．証明法を述べるのはやめて，考え方に焦点をあててみたいというわけです．

　たとえば，Ｆ3における２次方程式

　　ｘ^2＋１＝０

を考えます．

　　ｆ（０）＝１，ｆ（１）＝２，ｆ（２）＝５＝２

ですから，これはＦ3の中には根をもちません（＝既約多項式）．

　　Ｆ3［ｘ］／（ｘ^2＋１）

では，剰余の次数は高々１次ですから，

　　Ｆ3［ｘ］／（ｘ^2＋１）＝｛ａｘ＋ｂ｜ａ，ｂはＦ3の元｝

また，Ｆ3＝Ｚ／３Ｚの元の集合は｛０，１，２｝ですから，

　　｛０，１，２，ｘ，ｘ＋１，ｘ＋２，２ｘ，２ｘ＋１，２ｘ＋２｝

の９個の剰余類からなります．

　Ｆ3では−１＝２すなわち｛０，１，２｝＝｛０，１，−１｝ですから，

　　｛０，１，−１，ｘ，ｘ＋１，ｘ−１，−ｘ，−ｘ＋１，−ｘ−１｝

としても同じことです．ともあれ，ｆ（ｘ）の次数をｄとすると，Ｆp［ｘ］／ｆ（ｘ）の位数はｐ^d個あることがわかります．

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　次に，この９個の元が体をなすだろうか？　すなわち，加減乗除が可能だろうか？　という問題が派生します．

　　Ｆ3［ｘ］／（ｘ^2＋１）＝｛ａｘ＋ｂ｜ａ，ｂはＦ3の元｝

において，ａｘ＋ｂをａｂとして３進数表示すれば，集合としては

　　｛００，０１，０２，１０，１１，１２，２０，２１，２２｝＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８｝

　桁ごとのＦ3の加法，たとえば，

　　３＋５＝ｘ＋（ｘ＋２）＝２ｘ＋２＝２２＝８

をまとめると

　　＋　　０　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８

　　０　　０　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８

　　１　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　０

　　２　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　１　　２

　　３　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　１　　０　　２

　　４　　４　　５　　６　　７　　８　　０　　１　　２　　３

　　５　　５　　６　　７　　８　　０　　１　　２　　３　　４

　　６　　６　　７　　８　　０　　１　　２　　３　　４　　５

　　７　　７　　８　　０　　１　　２　　３　　４　　５　　６

　　８　　８　　０　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７

　また，乗法は多項式としての積のｘ^2＋１による剰余，すなわち，右辺の乗算はｘ^2＋１が出てくるたびに０に置き換える（＝ｘ^2が出てくるだびに−１に置き換える）ことによって，たとえば，

　　３×５＝ｘ（ｘ＋２）＝ｘ^2＋２ｘ＝２ｘ−１＝２ｘ＋２＝２２＝８

が実現されます．

　　×　　０　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８

　　０　　０　　０　　０　　０　　０　　０　　０　　０　　０

　　１　　０　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８

　　２　　０　　２　　１　　６　　８　　７　　３　　５　　４

　　３　　０　　３　　６　　２　　５　　８　　１　　４　　７

　　４　　０　　４　　８　　５　　６　　１　　７　　２　　３

　　５　　０　　５　　７　　８　　１　　３　　４　　６　　２

　　６　　０　　６　　３　　１　　７　　４　　２　　８　　５

　　７　　０　　７　　５　　４　　２　　６　　８　　４　　１

　　８　　０　　８　　５　　７　　３　　２　　５　　１　　６

　このように０〜８が一度ずつ現れましたし，０以外の元が

　　１×１＝１

　　２×２＝１

　　（ｘ＋１）×（ｘ＋２）＝１

　　（ｘ＋２）×（ｘ＋１）＝１

　　２ｘ×ｘ＝１

　　（２ｘ＋１）×（２ｘ＋２）＝１

　　（２ｘ＋２）×（２ｘ＋１）＝１

のように常に乗法に関する逆元をもっているわけですから，

　　Ｆ3［ｘ］／（ｘ^2＋１）

が「体」となっていることがわかります．

　この拡大体をＦ9と書きます．添字の９は９個の元からなることを表しています．前述したように

　　Ｚ／９Ｚ＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８｝

（一般にＺ／ｐ^2Ｚ）では，有限環とはなっても有限体にはならないわけですから，紛らわしいので，Ｆ3^2あるいは一般にＦp^2と書いた方がいいかもしれません．

　なお，Ｆp^nの０でない元の全体は，位数ｐ^n−１の乗法群をなします．この群のすべての元は

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^(p^n-1)−１＝０，すなわち，ｘ^(p^n)＝ｘ

を満たします．また，

　　（ｘ＋ｙ）^p＝ｘ^p＋ｙ^p　　（和のｐ乗はｐ乗の和）

　　（ｘｙ）^p＝ｘ^pｙ^p　　　　（積のｐ乗はｐ乗の積）

ですから，ｐ乗の算法は体をなしています．一般に，

　　｛ｆ（ｘ）｝^p＝ｆ（ｘ^p）

が成立します．

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　有限体を係数にもつ方程式を考えて，その根をつけ加えて得られる数体系も有限体と呼ばれます．

　体Ｆ3にｘ^2＋１の形式的な解を考えて，それをαとします．

　　Ｆ3（α）＝Ｆ3［ｘ］／（ｘ^2＋１）

と定義すると，

　　Ｆ3（α）＝｛ａ＋ｂα｜ａ，ｂ＝Ｆ3｝

　＝｛０，１，−１，α，α＋１，α−１，−α，−α＋１，−α−１｝

です．

　ｘ^2＋１＝０のもう一つの解−αがこの体に入っていることから，ｘ^2＋１はこの体で１次式の積に分解されることがわかります．

　　ｘ^2＋１＝（ｘ−α）（ｘ＋α）

　また，Ｆ3には｛０，１，２｝＝｛０，１，−１｝を代入しても０にならない２次式（２次の既約多項式）がさらに２つあります．

　　ｘ^2＋ｘ＋２＝ｘ^2＋ｘ−１，

　　ｘ^2＋２ｘ＋２＝ｘ^2−ｘ−１

　ｘ^2＋ｘ−１＝０の解は１＋α，１−α，ｘ^2−ｘ−１＝０の解は−１＋α，−１−αであって，Ｆ3にｘ^2＋１＝０の解を添加した体Ｆ3（α）はすべての既約２次方程式の解を含むことになります．もちろん有理数体においてはこのようなことは起こりません．

　何が問題なのかを意識していないと肝心なところがわからないので，説明を繰り返しますが，結局，「Ｆp係数の既約方程式ｆ（ｘ）＝０は

　　Ｆp［ｘ］／ｆ（ｘ）

において根をもつ．」すなわち，Ｆpを係数とする方程式を考え，その根をどんどん新しい数としてつけ加えていくと，ついにはどんな方程式からもそれ以上新しい根がでないような数の体系にたどりつくというわけです．

　換言すると，有限体Ｆpを含んでいて，しかもあらゆるＦp係数既約２次方程式が解けるというきわめて有用な有限Ｆpの２次拡大体Ｆp^2を構成したことになります．

　なお，ここで用いた既約多項式は

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋１

ですから，この話はｉを添加して実数体（Ｒ：ａ）を複素数体（Ｃ：ａ＋ｂｉ）に拡大した話と完全に並行していることが窺えます．

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