初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となるフィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，・・・

の各項を２で割った余りをとると（ｍｏｄ２で考えると），

　　１，１，０，１，１，０，・・・

３項ごとに元に戻ることがわかる．

　３で割った余りなら，

　　１，１，２，０，２，２，１，０，１，１，２，・・・

のように８項毎に元に戻る．

　ｍｏｄ５のとき，

　　１，１，２，３，０，３，３，１，４，０，４，４，３，２，０，２，２，４，１，０，１，１，２，・・・

２０項毎に循環している．

　ｍｏｄ７のとき，

　　１，１，２，３，５，１，６，０，６，６，５，４，２，６，１，０，１，１，・・・

１６項毎に循環している．

　このような性質を周期性というのだが，任意の自然数でフィボナッチ数を割っていくと，必ず周期性が現れる．循環節の長さには，はたしてどういう規則があるのだろうか？

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【１】フィボナッチ数列と有限体

　いよいよ，循環節の長さにどういう規則があるのかという問題に突入します．

　　ｆ（ｍ）が奇数→ｍ＝２

　　ｆ（ｍ）＝４ｓ→Ｆ2s＝０（ｍｏｄ　ｍ）

だけではつまらないでしょう．

　ここでは有限体を扱うので，フィボナッチ数列を奇素数ｐを法として考えることにします．すると，奇素数ｐに対して循環する項数をｆ（ｐ）とすると，

　　ｆ（３）＝８，ｆ（５）＝２０，ｆ（７）＝１６，ｆ（１１）＝１０，

　　ｆ（１３）＝２８，ｆ（１７）＝３６，ｆ（１９）＝１８，・・・

となっていますから，

　　ｐ＝±１（ｍｏｄ５）のとき，ｆ（ｐ）＝ｐ−１

　　ｐ＝±２（ｍｏｄ５）のとき，ｆ（ｐ）＝２ｐ＋２

と予想できます．

　ただし，５は例外としておき，ｐは５以外の奇素数であるとします．そのとき，ビネの公式：

　　Ｆn ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］

はｍｏｄｐで考えても意味をもつことになります．

(1)もし√５すなわちｘ^2＝５の根が有限体Ｆpの中にあれば，ビネの公式はＦpの元として意味をもつ

(2)Ｆpの中になければ，その根はＦp^2の中にあり，その根の一つを√５とすれば，ビネの公式はＦp^2の元として意味をもつ

ことになります．

　たとえば，ｐ＝１１であるとすると，方程式ｘ^2＝５（ｍｏｄ１１）の根として，ｘ＝４とｘ＝７の２根がありますから，√５＝４とおくと，７＝−４＝−√５

したがって，

　　（１＋√５）／２＝５／２＝５・６＝８

　　（１−√５）／２＝−３／２＝８／２＝４

より，法１１でのフィボナッチ数列の一般項は

　　Ｆn＝１／４（８^n−４^n）＝３・（８^n−４^n）

　確認のために計算してみると

　　Ｆ1＝３・４＝１，Ｆ2＝３・４＝１，Ｆ3＝３・８＝２，

　　Ｆ4＝３・１＝３，Ｆ5＝３・９＝５，・・・

となり，正しいことが確認されます．

　次に，ｐ＝７とすると，ｘ^2＝５（ｍｏｄ７）はＦ7の中には根をもたないので，ｘ^2＝５の一つの根を√５とおき，それをＦ7につけ加えて有限体Ｆ7^2をつくることができます．そのとき，もう一つの根は−√５になっており，一般項は

　　Ｆn ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］

とまったく同じ式で与えられます．

　　Ｆ1 ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝−｛（１−√５）／２｝］

　　　　＝１／√５・√５＝１

　　Ｆ2 ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^2−｛（１−√５）／２｝^2］

　　　　＝１／√５・√５＝１

　　Ｆ3 ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^3−｛（１−√５）／２｝^3］

は２^3＝１を用いると

　　Ｆ3 ＝１／√５［（２＋√５）−（２−√５）］＝２

となって正しいことが確認されます．

　５以外の奇素数ｐに対して，方程式ｘ^2＝５は

(1)ｐ＝±１（ｍｏｄ５）ならば，有限体Ｆpの中に根をもつ

(2)ｐ＝±２（ｍｏｄ５）ならば，有限体Ｆpの中に根をもちません．

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