（その６）に関連する問題（Knightの問題）を紹介したい．

［Ｑ］（ｂ＋ｃ）／ａ＋（ｃ＋ａ）／ｂ＋（ａ＋ｂ）／ｃ＝ｎの自然数解（ａ，ｂ，ｃ）を求めよ．

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　両辺にａ／ａ＋ｂ／ｂ＋ｃ／ｃ＝３を加えると

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）＝ｎ＋３

　これも楕円曲線の有理数を求める問題に帰着され

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ^2＋Ａｘ＋Ｂ）

　　Ａ＝ｎ^2−１２

　　Ｂ＝１６（ｎ＋３）

の有理点を探し出す必要がある．

　実は（ａ，ｂ，ｃ）としては，フィボナッチ数（Ｆ1＝１，Ｆ2＝１，Ｆn+2＝Ｆn+1＋Ｆn），リュカ数（Ｌ1＝１，Ｌ2＝３，Ｌn+2＝Ｌn+1＋Ｌn）に関係する解

　　ａ＝Ｆ2k-1，ｂ＝Ｆ2k+1，ｃ＝Ｆ2k-1Ｌ2kＦ2k+1

が知られているという（これ以外にあるがどうかはわからない）．

　そして，ｎ＝１　（ｍｏｄ４）のとき，

　　（ｂ＋ｃ）／ａ＋（ｃ＋ａ）／ｂ＋（ａ＋ｂ）／ｃ＝ｎ

の自然数解（ａ，ｂ，ｃ）は存在しない．

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