兵庫教育大の濱中先生が取り上げられた問題を紹介したい．

［Ｑ］ａ／（ｂ＋ｃ）＋ｂ／（ｃ＋ａ）＋ｃ／（ａ＋ｂ）＝ｎの自然数解（ａ，ｂ，ｃ）を求めよ．

　有理数解，整数解ではなく，自然数解というところが難しさのキモになっているという．たとえば，奇数ｎに対する自然数解（ａ，ｂ，ｃ）は存在しない．偶数ｎ，たとえばｎ＝４に対する自然数解はとてつもなく大きな数になるという．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　分母を払うと

ａ（ｃ＋ａ）（ａ＋ｂ）＋ｂ（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）＋ｃ（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）＝ｎ（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）（ａ＋ｂ）

ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＋ａｂｃ＝（ｎ−１）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）（ａ＋ｂ）

となって３次式が得られる．

　以下，受け売りであるが，ワイエルシュトラスの標準形

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ^2＋Ａｘ＋Ｂ）

　　Ａ＝４ｎ（ｎ＋３）−３

　　Ｂ＝３２（ｎ＋３）

　ここで楕円曲線の有理数を求める問題に帰着された．求めたい自然数解に対応する有理点はｘ≧０の範囲に存在する．

［注］ワイエルシュトラスの標準形は通常ｙ^2＝ｘ^3＋Ａｘ＋Ｂで表される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝