【３】ファンデルモンドの行列式

　　｜１　　１　　１　｜

　　｜ａ　　ｂ　　ｃ　｜＝（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）

　　｜ａ^2　ｂ^2　ｃ^2｜

は有名な公式です．

　　｜１　　１｜＝ｂ−ａ

　　｜ａ　　ｂ｜

　　｜１　　１　　１　　１　｜

　　｜ａ　　ｂ　　ｃ　　ｄ　｜＝（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）（ａ−ｄ）

　　｜ａ^2　ｂ^2　ｃ^2　ｄ^2｜　　　　　×（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）

　　｜ａ^3　ｂ^3　ｃ^3　ｄ^3｜　　　　　　　　　　×（ｃ−ｄ）

　いずれも右辺は特別な形（差積）になっていますが，これを一般化した公式が「ファンデルモンドの行列式」です．

　　｜１　　　 １　 　　１・・・・１　　　｜

　　｜ｘ1　　　ｘ2　　　ｘ3　　 ・ｘn　 　｜

　　｜ｘ1^2　　ｘ2^2　　ｘ3^2　 ・ｘn^2 　｜＝ＲΠ（ｘi−ｘj）

　　｜・・・・・・・・・・・・・・・・・・｜　　Ｒ＝(-1)^{n(n-1)/2}

　　｜ｘ1^n-1　ｘ2^n-1　ｘ3^n-1 ・ｘn^n-1 ｜　　(i>j)

　ファンデルモンドの行列式は符号を除いて差積Π（ｘi−ｘj）に等しく，整級数の理論や分割の理論に使われます．(i>j)ですから右辺はnＣ2＝ｎ（ｎ−１）／２項の積となります．

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