【２】巡回行列式

　３次の巡回行列式

　　｜ａ　ｂ　ｃ｜

　　｜ｃ　ａ　ｂ｜＝ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　　｜ｂ　ｃ　ａ｜

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）

もきれいな恒等式です．

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ

　＝｛（ａ−ｂ）^2＋（ｂ−ｃ）^2＋（ｃ−ａ）^2｝／２≧０

は高校数学でよく出てきますから，憶えておられる方も多いでしょう．

　２次の巡回行列式

　　｜ａ　ｂ｜＝ａ^2−ｂ^2＝（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）

　　｜ｂ　ａ｜

では物足りないし，かといって４次の巡回行列式

　　｜ａ　ｂ　ｃ　ｄ｜

　　｜ｄ　ａ　ｂ　ｃ｜

　　｜ｃ　ｄ　ａ　ｂ｜

　　｜ｂ　ｃ　ｄ　ａ｜

　＝ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4−２（ａ^2ｂ^2＋ａ^2ｃ^2＋ａ^2ｄ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｂ^2ｄ^2＋ｃ^2ｄ^2）＋８ａｂｃｄ

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ−ｂ＋ｃ−ｄ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2−２ａｃ−２ｂｄ）

　＝｛（ａ＋ｃ）^2−（ｂ＋ｄ）^2｝｛（ａ−ｃ）^2＋（ｂ−ｄ）^2｝

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂｉ−ｃ−ｄｉ）（ａ−ｂ＋ｃ−ｄ）（ａ−ｂｉ−ｃ＋ｄｉ）

では厳めしく感じられます．

　巡回行列式には２次式の和の形ΣｋＰ^2が出現するのですが，一般に，ζを１の原始ｎ乗根（すなわちｎ乗してはじめて１になる複素数）とすると

　　｜ｘ0 ｘ1・・・ｘn-1｜

　　｜ｘn-1 ｘ0・・・ｘn-2｜＝Π（ｘ0＋ζ^iｘ1＋・・・＋ζ^(n-1)iｘn-1）

　　｜・・・・・・・・・・｜　　(i=0~n-1)

　　｜ｘ1 ｘ2・・・ｘ0 ｜

で表されます．(i=0~n-1)ですから右辺はｎ個の整式の積となります．

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