今回は、L(1)分解構造の中の『L(1)１０分割の分身⇒L(1)２０分割の分身』が成り立つことを見ます。

　　L(1)＝1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +1/17 - ・・＝π/4

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　　　　　　　　　　　＜ L(1)分解構造 ＞

　L(1)⇒L(1)２分割の分身⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)３分割の分身⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)５分割の分身⇒L(1)１０分割の分身⇒L(1)２０分割の分身⇒L(1)４０分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)７分割の分身⇒L(1)１４分割の分身⇒L(1)２８分割の分身⇒L(1)５６分割の分身⇒・・・

　このように、一つの分身が２つに（倍に）分解する。素数を起点として倍々ゲームで無限に分解（分岐）していく。逆に無限の彼方から見れば、（先頭行を例にとると）・・・・⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒L(1)などとなっている。

　厳密には予想ですが、こんなふうになっている。

（注記）

　L(1)⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・なども当然成り立ちますが、略しました。

理由は、前者は上の全体の様子での１行目に含まれており、後者は２行目に含まれていて、表示する必要がないからです（冗長になるので略）。素数のケースだけ書けば十分です。

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　それでは、L(1)の１０分割分身が２０分割分身に分解する様子を見ます。１０分割は（その２１）の結果を利用し、２０分割はここではじめて示します。

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　　　　　＜１０分割は（その２１）から抜粋＞

■L(1)１０分割

B1＝ 1 -1/39 +1/41 -1/79 +1/81 -1/119 +・・ ＝(π/40)tan(19π/40)

B2＝1/3 -1/37 +1/43 -1/77 +1/83 -1/117 +・・＝(π/40)tan(17π/40)

B3＝1/5 -1/35 +1/45 -1/75 +1/85 -1/115 +・・＝(π/40)tan(15π/40)

B4＝1/7 -1/33 +1/47 -1/73 +1/87 -1/113 +・・ ＝(π/40)tan(13π/40)

B5＝1/9 -1/31 +1/49 -1/71 +1/89 -1/111 +・・ ＝(π/40)tan(11π/40)

B6＝1/11 -1/29 +1/51 -1/69 +1/91 -1/109 +・・ ＝(π/40)tan(9π/40)

B7＝1/13 -1/27 +1/53 -1/67 +1/93 -1/107 +・・ ＝(π/40)tan(7π/40)

B8＝1/15 -1/25 +1/55 -1/65 +1/95 -1/105 +・・ ＝(π/40)tan(5π/40)

B9＝1/17 -1/23 +1/57 -1/63 +1/97 -1/103 +・・ ＝(π/40)tan(3π/40)

B10＝1/19 -1/21 +1/59 -1/61 +1/99 -1/101 +・・ ＝(π/40)tan(π/40)

　　　B1 -B2 +B3 -B4 +B5 -B6 +B7 -B8 +B9 -B10＝π/4＝L(1) となります。

■L(1)２０分割

C1＝ 1 -1/79 +1/81 -1/159 +1/161 -1/239 + ・・ ＝(π/80)tan(39π/80)

C2＝ 1/3 -1/77 +1/83 -1/157 +1/163 -1/237 +・・ ＝(π/80)tan(37π/80)

C3＝ 1/5 -1/75 +1/85 -1/155 +1/165 -1/235 +・・ ＝(π/80)tan(35π/80)

C4＝ 1/7 -1/73 +1/87 -1/153 +1/167 -1/233 +・・ ＝(π/80)tan(33π/80)

C5＝ 1/9 -1/71 +1/89 -1/151 +1/169 -1/231 +・・ ＝(π/80)tan(31π/80)

C6＝ 1/11 -1/69 +1/91 -1/149 +1/171 -1/229 +・・ ＝(π/80)tan(29π/80)

C7＝ 1/13 -1/67 +1/93 -1/147 +1/173 -1/227 +・・ ＝(π/80)tan(27π/80)

C8＝ 1/15 -1/65 +1/95 -1/145 +1/175 -1/225 +・・ ＝(π/80)tan(25π/80)

C9＝ 1/17 -1/63 +1/97 -1/143 +1/177 -1/223 +・・ ＝(π/80)tan(23π/80)

C10＝1/19 -1/61 +1/99 -1/141 +1/179 -1/221 +・・ ＝(π/80)tan(21π/80)

C11＝1/21 -1/59 +1/101 -1/139 +1/181 -1/219 +・・ ＝(π/80)tan(19π/80)

C12＝1/23 -1/57 +1/103 -1/137 +1/183 -1/217 +・・ ＝(π/80)tan(17π/80)

C13＝1/25 -1/55 +1/105 -1/135 +1/185 -1/215 +・・ ＝(π/80)tan(15π/80)

C14＝1/27 -1/53 +1/107 -1/133 +1/187 -1/213 +・・ ＝(π/80)tan(13π/80)

C15＝1/29 -1/51 +1/109 -1/131 +1/189 -1/211 +・・ ＝(π/80)tan(11π/80)

C16＝1/31 -1/49 +1/111 -1/129 +1/191 -1/209 +・・ ＝(π/80)tan(9π/80)

C17＝1/33 -1/47 +1/113 -1/127 +1/193 -1/207 +・・ ＝(π/80)tan(7π/80)

C18＝1/35 -1/45 +1/115 -1/125 +1/195 -1/205 +・・ ＝(π/80)tan(5π/80)

C19＝1/37 -1/43 +1/117 -1/123 +1/197 -1/203 +・・ ＝(π/80)tan(3π/80)

C20＝1/39 -1/41 +1/119 -1/121 +1/199 -1/201 +・・ ＝(π/80)tan(π/80)

　　　C1 -C2 +C3 -C4 +C5 -C6 +C7 -C8 +C9 -C10 +C11 -C12 +C13 -C14 +C15 -C16 +C17 -C18 +C19 -C20＝π/4＝L(1) となります。

　念のため、上記C1〜C20式に対しExcelマクロで数値検証しましたが、左辺の級数は右辺値に収束しました。右辺値和もπ/4に一致しました。これらC1〜C20の導出方法は以下の通り。

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　L(1)２０分割式の導出過程を簡単に述べます。次の部分分数展開式を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ =(π/(4x))tan(πx/2)

　　xに(2m-1)/40の値を（m＝20,19,・・・,2,1の順番で）代入することで、それぞれ分割級数C1〜C20が求まります。

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　上記結果より、１０分割の分身は、次のようにそれぞれ２個に分裂（分解）して２０分割の分身になっています。

　 B1 ＝C1 -C20　-----�@

　 B2 ＝C2 -C19　-----�A

　 B3 ＝C3 -C18　-----�B

　 B4 ＝C4 -C17　-----�C

　 B5 ＝C5 -C16　-----�D

　 B6 ＝C6 -C15　-----�E

　 B7 ＝C7 -C14　-----�F

　 B8 ＝C8 -C13　-----�G

　 B9 ＝C9 -C12　-----�H

　 B10＝C10 -C11 -----�I

　　このように一つの分身が二つに割れていきます。逆の見方をすれば、二つの分身が合わさって上のクラスの一個の分身になる。

　その割れ方は（その８３）で見たζ(2)「１０分割の分身⇒２０分割の分身」の割れ方と同じです（違いは、右辺で足すか引くかの違いだけ）。（その８３）とζ(2)の結果と比較すると、その類似性に驚きます。ぜひ比べてみてください。

　�@〜�Iに関し、級数での成立は簡単にわかります（眺めるだけでわかる）。また右辺値（特殊値）での成立も、次のようにすれば容易に確かめられる。

　三角関数において次式が成り立つ。

　　tan(π/2 -2x)＝(1/2)｛tan(π/2 -x)- tan(x)｝

　　xにπ/80, 3π/80, 5π/80, 7π/80, 9π/80,11π/80, 13π/80, 15π/80, 17π/80, 19π/80を代入することで、�@〜�Iの特殊値での成立を確かめることができます。

　以上より、L(1)分岐構造全体のうち『L(1)１０分割の分身⇒L(1)２０分割の分身』の成立が確認できました。

以上。（杉岡幹生）

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