L(1)８分割の分身の分解を調べます。

　　　L(1)＝1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +1/17 - ・・＝π/4

　L(1)が分解していく全体の様子は次のようになっています。１個の分身に着目すると倍の２個に割れる（分解する）。今回は、その中の『L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身』の様子を見ます。

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L(1)⇒L(1)２分割の分身⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

L(1)⇒L(1)３分割の分身⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・

L(1)⇒L(1)５分割の分身⇒L(1)１０分割の分身⇒L(1)２０分割の分身⇒L(1)４０分割の分身⇒・・・

L(1)⇒L(1)７分割の分身⇒L(1)１４分割の分身⇒L(1)２８分割の分身⇒L(1)５６分割の分身⇒・・・

・・・・・・・・・・・・・・

　このように、一つの分身が２つに（倍に）分解する。素数を起点として倍々ゲームで無限に分解（分岐）していく。

逆に無限の彼方から見れば、（先頭行を例にとると）・・・・⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒L(1)などとなっている。

　厳密には予想ですが、こんなふうになっている。

（注記）

　L(1)⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・

なども当然成り立ちますが、略しました。理由は、前者は１行目の途中からに含まれており、後者は２行目に含まれていて、表示する必要がないからです（冗長になるので略）。すなわち、素数のケースだけ書けば十分です。

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　それでは、L(1)８分割の分身たちの分解の様子を見ることにします。８分割は（その１４）での結果を利用します。１６分割は、ここではじめて示します。

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　　　＜８分割は（その１４）の結果を抜粋＞

■L(1)８分割

　C1＝ 1 -1/31 +1/33 -1/63 +1/65 -1/95 +・・ ＝(π/32)tan(15π/32)

　C2＝1/3 -1/29 +1/35 -1/61 +1/67 -1/93 +・・ ＝(π/32)tan(13π/32)

　C3＝1/5 -1/27 +1/37 -1/59 +1/69 -1/91 +・・ ＝(π/32)tan(11π/32)

　C4＝1/7 -1/25 +1/39 -1/57 +1/71 -1/89 +・・ ＝(π/32)tan(9π/32)

　C5＝1/9 -1/23 +1/41 -1/55 +1/73 -1/87 +・・ ＝(π/32)tan(7π/32)

　C6＝1/11 -1/21 +1/43 -1/53 +1/75 -1/85 +・・＝(π/32)tan(5π/32)

　C7＝1/13 -1/19 +1/45 -1/51 +1/77 -1/83 +・・＝(π/32)tan(3π/32)

　C8＝1/15 -1/17 +1/47 -1/49 +1/79 -1/81 +・・＝(π/32)tan(π/32)

　　　　C1 -C2 +C3 -C4 +C5 -C6 +C7 -C8＝π/4＝L(1) となります。

■L(1)１６分割

　D1＝ 1 -1/63 +1/65 -1/127 +1/129 -1/191 + ・・ ＝(π/64)tan(31π/64)

　D2＝1/3 -1/61 +1/67 -1/125 +1/131 -1/189 +・・ ＝(π/64)tan(29π/64)

　D3＝1/5 -1/59 +1/69 -1/123 +1/133 -1/187 +・・ ＝(π/64)tan(27π/64)

　D4＝1/7 -1/57 +1/71 -1/121 +1/135 -1/185 +・・ ＝(π/64)tan(25π/64)

　D5＝1/9 -1/55 +1/73 -1/119 +1/137 -1/183 +・・ ＝(π/64)tan(23π/64)

　D6＝1/11 -1/53 +1/75 -1/117 +1/139 -1/181 +・・ ＝(π/64)tan(21π/64)

　D7＝1/13 -1/51 +1/77 -1/115 +1/141 -1/179 +・・ ＝(π/64)tan(19π/64)

　D8＝1/15 -1/49 +1/79 -1/113 +1/143 -1/177 +・・ ＝(π/64)tan(17π/64)

　D9＝1/17 -1/47 +1/81 -1/111 +1/145 -1/175 +・・ ＝(π/64)tan(15π/64)

　D10＝1/19 -1/45 +1/83 -1/109 +1/147 -1/173 +・・＝(π/64)tan(13π/64)

　D11＝1/21 -1/43 +1/85 -1/107 +1/149 -1/171 +・・＝(π/64)tan(11π/64)

　D12＝1/23 -1/41 +1/87 -1/105 +1/151 -1/169 +・・＝(π/64)tan(9π/64)

　D13＝1/25 -1/39 +1/89 -1/103 +1/153 -1/167 +・・＝(π/64)tan(7π/64)

　D14＝1/27 -1/37 +1/91 -1/101 +1/155 -1/165 +・・＝(π/64)tan(5π/64)

　D15＝1/29 -1/35 +1/93 -1/99 +1/157 -1/163 + ・・＝(π/64)tan(3π/64)

　D16＝1/31 -1/33 +1/95 -1/97 +1/159 -1/161 + ・・＝(π/64)tan(π/64)

　　D1 -D2 +D3 -D4 +D5 -D6 +D7 -D8 +D9 -D10 +D11 -D12 +D13 -D14 +D15 -D16＝π/4＝L(1) となります。

　念のためExcelマクロで上記全式の左辺の級数が右辺値に収束することを確認しました。D1〜D16の導出方法は、以下の通り。

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　L(1)１６分割式の導出過程を簡単に述べます。次の部分分数展開式を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ =(π/(4x))tan(πx/2)

　この式のxに次の値を代入することで、１６分割の分割級数D1〜D16が求まります。

　xに値31/32を代入すると、D1が得られる。

　xに値29/32を代入すると、D2が得られる。

　xに値27/32を代入すると、D3が得られる。

　xに値25/32を代入すると、D4が得られる。

　xに値23/32を代入すると、D5が得られる。

　xに値21/32を代入すると、D6が得られる。

　xに値19/32を代入すると、D7が得られる。

　xに値17/32を代入すると、D8が得られる。

　xに値15/32を代入すると、D9が得られる。

　xに値13/32を代入すると、D10が得られる。

　xに値11/32を代入すると、D11が得られる。

　xに値 9/32を代入すると、D12が得られる。

　xに値 7/32を代入すると、D13が得られる。

　xに値 5/32を代入すると、D14が得られる。

　xに値 3/32を代入すると、D15が得られる。

　xに値 1/32を代入すると、D16が得られる。

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上記結果から、L(1)８分割の分身(C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8)は、それぞれ２個に分裂（分解）して１６分割の分身になっています。次の通りです。

　 C1＝D1 -D16　 -----�@

　 C2＝D2 -D15　 -----�A

　 C3＝D3 -D14　 -----�B

　 C4＝D4 -D13　 -----�C

　 C5＝D5 -D12 　-----�D

　 C6＝D6 -D11 　-----�E

　 C7＝D7 -D10 　-----�F

　 C8＝D8 -D9 　 -----�G

　このように一つの分身が二つに割れるのです。その割れ方は（その８１）で見たζ(2)８分割の場合と同じ形です（違いは右辺で足すか引くかの違いのみ）。綺麗な規則に従って分解していることに注目してください。

　級数での成立は簡単にわかります（眺めればわかる）。

　また右辺値での成立も（級数の成立から自明ではありますが）、次のようにすれば容易に確かめられる。

　三角関数において次式が成り立つ。

　　tan(π/2 -2x)＝(1/2)｛tan(π/2 -x)- tan(x)｝

　xにπ/64、3π/64、5π/64、7π/64、9π/64、11π/64、13π/64、15π/64を代入することで、�@〜�Gの右辺値での成立を確かめることができます。

　以上より、L(1)分身の分岐構造全体のうち『L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身』の成立が確認できました。

以上。（杉岡幹生）

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