ζ(s)の分身は、チェビシェフの多項式と関係しているようです。その辺を粗くスケッチします。

　チェビシェフの多項式は、次の”チェビシェフの微分方程式”の解です。

　　　(1-x^2)y´´ - xy´ + n^2・y＝0 ----�@　　（n＝0,1,2,3,・・）

　ζ(s)のζ(2)がこの微分方程式に関係しています。ζ(2)がなぜこんなものに関係するのか？　それは次のような流れからそうなります。

　以前L(1)の分身たちを生み出す（解にもつ）方程式を次ページ辺りで求めました。その結果、「L(1)の分身の特殊値が代数方程式の解(根)として生み出される」ことがわかり、これで代数方程式という別の分野とゼータが結びつきました。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12808_x7.htm

　それでは次に「ζ(2)の分身の値は、どんな代数方程式の解(根)となるのか？」が気になりました。求めると、次の方程式が得られました。

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ζ(2)１分割⇒ x -2＝0

ζ(2)２分割⇒ x^2 -8x +8＝0

ζ(2)３分割⇒ x^3 -18x^2 +48x -32＝0

ζ(2)４分割⇒ x^4 -32x^3 +160x^2 -256x +128＝0

ζ(2)５分割⇒ x^5 -50x^4 +400x^3 -1120x^2 +1280x -512＝0

ζ(2)６分割⇒ x^6 -72x^5 +840x^4 -3584x^3 +6912x^2 -6144x +2048＝0

　・・・・・・

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　例えば、上のx^5・・の代数方程式を解けば、その５根（全て実根！）がそのままζ(2)５分割の分身の値になるという具合です。ζ(2)５分割の分身の姿はこちらで見ることができます。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12448_n7.htm

さて、上式の係数が気になりました。

　L(1)分身を生む代数方程式は、パスカルの三角形の値を係数にもちました。それではζ(2)での上記の式は一体どんな式なのか？

　調べると、上記方程式に現れている左辺の多項式は、”チェビシェフの多項式”と本質的に等しいことがわかりました。自分の持つマグロウヒル公式集では、チェビシェフの多項式は大きく載っていて、次のチェビシェフの微分方程式の解を構成します。

　　(1-x^2)y´´ - xy´ + n^2・y＝0 ----�@　　（n=0,1,2,3,・・）

　例えば、n＝8のときには、第一種チェビシェフ多項式Tn(x)におけるn＝8での次のT8(x)を用いたy＝T8(x)が�@の微分方程式の解になります。

　　　T8(x)＝128x^8 -256x^6 +160x^4 -32x^2 +1 ----�A

　そして、この�Aの右辺は、上で掲載したζ(2)４分割での式、つまり次式の左辺と本質的に等しい！と気づきます。x^2＝1/tとすれば簡単に確認できますね。

　　　x^4 -32x^3 +160x^2 -256x +128＝0

　以上。このようなことがわかってきました。

　ゼータが微分方程式という異分野と関係してくるとは面白いことです。ゼータの分身たちの棲む洞窟は大きくて、いろんな水脈とつながっている感じです。まとめておきます。

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［まとめ］

ζ(2)の分身を生む次の代数方程式に現われている左辺の多項式f(x)は、チェビシェフの多項式と本質的に等しい。

　ζ(2)１分割⇒ x -2＝0

　ζ(2)２分割⇒ x^2 -8x +8＝0

　ζ(2)３分割⇒ x^3 -18x^2 +48x -32＝0

　ζ(2)４分割⇒ x^4 -32x^3 +160x^2 -256x +128＝0

　ζ(2)５分割⇒ x^5 -50x^4 +400x^3 -1120x^2 +1280x -512＝0

　ζ(2)６分割⇒ x^6 -72x^5 +840x^4 -3584x^3 +6912x^2 -6144x +2048＝0

　　・・・・・・

　それら多項式f(x)に対応したy＝f(x)は、チェビシェフの微分方程式の一連の解である。ζ(s)は微分方程式と関係しているのである。

上記の代数方程式は解(根)は全て実根であり、その解はζ(2)の分身の値となる。

　例えば上の一つの”x^5 -50x^4 +400x^3 -1120x^2 +1280x -512＝0”を解くと、五つの実根が得られ、それらはζ(2)５分割の分身たちの特殊値を与える。

ζ(2)５分割の分身の値はこちらを参照。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12448_n7.htm

以上。（杉岡幹生）

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