■サマーヴィルの等面四面体(その905)

AB=BC=CD=a

AC=BD=b

AD=c

の四面体の体積は,144V^2

=a^2c^2(a^2−c^2)

 +b^4(3a^2−2b^2+c^2)

 +a^4(−a^2+c^2)

で与えられる.

 空間充填四面体は

  c^2=3(b^2−a^2)

を満たす.a^2=1として,

[Q]空間充填四面体の体積の最大値・最小値を求めよ.

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144V^2=c^2(1−c^2)+b^4(3−2b^2+c^2)+(−1+c^2)

=−(c^2−1)^2+b^4(3−2b^2+c^2)

c^2=3b^2−3を代入すると,B=b^2

144V^2=−(3b^2−4)^2+b^6=B^3−9B^2+24B−16

=(B−1)(B−4)^2

a^2=1,b^2=1,c^2=0のとき体積0

a^2=1,b^2=4,c^2=9のとき体積0

Bで微分すると

3B^2−18B+24=3(B^2−6B+8)

B^2−6B+8=(B−2)(B−4)=0

[1]B=2,c^2=3(b^2−a^2)

a=1,b=√2,c=√3のとき,体積は最大値1/6をとる

[2]B=4,c^2=3(b^2−a^2)

a=1,b=2,c=3のとき,三角形にならない→体積0

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 これは空間充填性を保ったままという条件である.同じ三角柱に内接するという条件ではない.

a^2=1,c^2=1とすると,空間充填性を満たすのはb^2=4/3のみである.

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