Ａ＝｛７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，７３，８９，９７，・・・｝

Ｂ＝｛３，３１，３７，４１，４３，５３，６７，７１，７９，８３，・・・｝

　　ｐ−１＝Ｌ（ｐ）の場合を扱ってみたい．

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【１】１０を原始根とする素数

１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２７５８の長さ６），Ｌ（７）＝６

１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６），Ｌ（１７）＝１６

のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数といいます．

　１０を原始根とする素数，たとえば，

７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

はＡ群に属します．

　１０を原始根とする素数の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）=Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．

　ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

　ここで，オイラー積のアナログ：アルティン積が出現しました．もし，これが正しいとすれば，このような素数は無限にあり，素数全体のうち約３／８を占めることになるのですが，残念ながら証明されていません．

　しかしながら，リーマン予想：ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある：が正しいと仮定するとアルティン予想の成り立つことが証明できることがわかっています．

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