■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その８０，杉岡幹生）
今回は、下記のζ(2)の分岐構造のうち『６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。』を確かめます。
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ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。
２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。
４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。
８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。・・・・・・
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あるいは、次のようにもなっている。
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ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。
３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。
６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。・・・・・・
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あるいは、次のようにもなっている。
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ζ(2)は、５分割の分身たちに分かれる。
５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。
１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる。・・・・・
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あるいは・・と、素数を起点として無限に倍々ゲームで分岐していく。逆に無限の彼方から見れば・・⇒３２分身⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒ζ(2) などとなっている。
厳密には予想ですが、こんなふうになっています。
（注記）例えば「３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。」は、精密には「ζ(2)３分割の分身たちは、ζ(2)６分割の分身たちに分かれる。」ということを意味します。略して書いているので、ご注意ください。
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それでは、今回は６分割の分岐構造を見ることにします。準備としてまず（その６０）と（その６５）でのZ(2)（つまりζ(2)）の６分割と１２分割の結果を再掲します。
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＜（その６０）、（その６５）から抜粋 ＞
Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝(3/4)ζ(2)＝π^2/8
Z(2)は本質的にζ(2)に等しいものです。
■Z(2)６分割
B1 ＝ 1 + 1/23^2 +1/25^2 +1/47^2 + 1/49^2 +1/71^2 + ・・ ＝(π/24)^2 /{cos(11π/24)}^2
B2 ＝ 1/3^2 + 1/21^2 +1/27^2 +1/45^2 + 1/51^2 +1/69^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(9π/24)}^2
B3 ＝ 1/5^2 + 1/19^2 +1/29^2 +1/43^2 + 1/53^2 +1/67^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(7π/24)}^2
B4 ＝ 1/7^2 + 1/17^2 +1/31^2 +1/41^2 + 1/55^2 +1/65^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(5π/24)}^2
B5 ＝ 1/9^2 + 1/15^2 +1/33^2 +1/39^2 + 1/57^2 +1/63^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(3π/24)}^2
B6 ＝1/11^2 + 1/13^2 +1/35^2 +1/37^2 + 1/59^2 +1/61^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(π/24)}^2
B1 +B2 +B3 +B4 +B5 +B6＝Z(2)＝π^2/8となる。
■Z(2)１２分割
C1 ＝ 1 +1/47^2 +1/49^2 +1/95^2 +1/97^2 +1/143^2 + ・・・ ＝(π/48)^2/{cos(23π/48)}^2
C2 ＝1/3^2 +1/45^2 +1/51^2 +1/93^2 +1/99^2 +1/141^2 + ・・ ＝(π/48)^2/{cos(21π/48)}^2
C3 ＝1/5^2 +1/43^2 +1/53^2 +1/91^2 +1/101^2 +1/139^2 + ・・＝(π/48)^2/{cos(19π/48)}^2
C4 ＝1/7^2 +1/41^2 +1/55^2 +1/89^2 +1/103^2 +1/137^2 + ・・＝(π/48)^2/{cos(17π/48)}^2
C5 ＝1/9^2 +1/39^2 +1/57^2 +1/87^2 +1/105^2 +1/135^2 + ・・＝(π/48)^2/{cos(15π/48)}^2
C6 ＝1/11^2 +1/37^2 +1/59^2 +1/85^2 +1/107^2 +1/133^2 + ・・＝(π/48)^2/{cos(13π/48)}^2
C7 ＝1/13^2 +1/35^2 +1/61^2 +1/83^2 +1/109^2 +1/131^2 + ・・＝(π/48)^2/{cos(11π/48)}^2
C8 ＝1/15^2 +1/33^2 +1/63^2 +1/81^2 +1/111^2 +1/129^2 + ・・＝(π/48)^2/{cos(9π/48)}^2
C9 ＝1/17^2 +1/31^2 +1/65^2 +1/79^2 +1/113^2 +1/127^2 + ・・＝(π/48)^2/{cos(7π/48)}^2
C10 ＝1/19^2 +1/29^2 +1/67^2 +1/77^2 +1/115^2 +1/125^2 + ・・＝(π/48)^2/{cos(5π/48)}^2
C11 ＝1/21^2 +1/27^2 +1/69^2 +1/75^2 +1/117^2 +1/123^2 + ・・＝(π/48)^2/{cos(3π/48)}^2
C12 ＝1/23^2 +1/25^2 +1/71^2 +1/73^2 +1/119^2 +1/121^2 + ・・＝(π/48)^2/{cos(π/48)}^2
C1 +C2 +C3 +C4 +C5 +C6 +C7 +C8 +C9 +C10 +C11 +C12＝Z(2)＝π^2/8となる。
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上記の事実から「６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる」ことが言えるのですが、見てみましょう。
どうなっているかというと、次のようになっているのです！
B1＝C1 +C12 ----①
B2＝C2 +C11 ----②
B3＝C3 +C10 ----③
B4＝C4 +C9 ----④
B5＝C5 +C8 ----⑤
B6＝C6 +C7 ----⑥
見事な秩序から成り立っていますね。このような関係で、一つの分身は二つに分かれていくのです！！
級数での成立は簡単にわかります（眺めればわかります）。
右辺値での成立も（級数の成立から自明ではありますが）、次のようにすれば容易に確かめられます。
三角関数において次式が成り立つ。
1/{cos(π/2 -2x)}^2 ＝(1/4)[1/{cos(π/2 -x)}^2 +1/{cos(x)}^2]
このxにπ/48、3π/48、5π/48、7π/48、9π/48、11π/48を代入することで、①～⑥の右辺値での成立を確かめることができます。OKですね。皆さんもぜひ確認してください。
以上より、『６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。』が確認できました。
これまでに確認できたのケースをまとめると、次の通りとなります。
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ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。
２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。
４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。
８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。
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ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。
３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。
６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。
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以上。（杉岡幹生）
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