今回は、下記のζ(2)の分岐構造のうち『ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。』と『３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。』を確かめます。

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　ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。

　２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。

　４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。

　８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。・・・・・・

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　あるいは、次のようにもなっている。

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　ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。

　３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。

　６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。・・・・・・

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　あるいは、次のようにもなっている。

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　ζ(2)は、５分割の分身たちに分かれる。

　５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。

　１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる。・・・・・

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　あるいは・・と、素数を起点として無限に倍々ゲームで分岐していく。逆に無限の彼方から見れば・・⇒３２分身⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒ζ(2) などとなっている。

　厳密には予想ですが、こんなふうになっています。

（注記）例えば「３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。」は、精密には「ζ(2)３分割の分身たちは、ζ(2)６分割の分身たちに分かれる。」ということを意味します。略して書いているので、ご注意ください。

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　では今回は１分割、３分割の分岐構造を見ることにします。準備としてまず（その３１）でのZ(2)（つまりζ(2)）の１分割、３分割と、（その６０）でのZ(2)６分割の結果を再掲します。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＜（その３１）、（その６０）から抜粋 ＞

　　Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝(3/4)ζ(2)＝π^2/8

　　　Z(2)は本質的にζ(2)に等しいものです。

■Z(2)１分割

　Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝(π/4)^2 /{cos(π/4)}^2 ＝π^2/8

■Z(2)３分割

　A1＝ 1 + 1/11^2 +1/13^2 +1/23^2 + 1/25^2 +1/35^2 +・・＝(π/12)^2 /{cos(5π/12)}^2

　A2＝1/3^2 +1/9^2 +1/15^2 +1/21^2 + 1/27^2 +1/33^2 +・・＝(π/12)^2 /{cos(3π/12)}^2

　A3＝1/5^2 +1/7^2 +1/17^2 +1/19^2 + 1/29^2 +1/31^2 +・・＝(π/12)^2 /{cos(π/12)}^2

　　A1 +A2 +A3＝Z(2)＝π^2/8となる。

■Z(2)６分割

B1 ＝ 1 + 1/23^2 +1/25^2 +1/47^2 + 1/49^2 +1/71^2 + ・・ 　 ＝(π/24)^2 /{cos(11π/24)}^2

B2 ＝ 1/3^2 + 1/21^2 +1/27^2 +1/45^2 + 1/51^2 +1/69^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(9π/24)}^2

B3 ＝ 1/5^2 + 1/19^2 +1/29^2 +1/43^2 + 1/53^2 +1/67^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(7π/24)}^2

B4 ＝ 1/7^2 + 1/17^2 +1/31^2 +1/41^2 + 1/55^2 +1/65^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(5π/24)}^2

B5 ＝ 1/9^2 + 1/15^2 +1/33^2 +1/39^2 + 1/57^2 +1/63^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(3π/24)}^2

B6 ＝1/11^2 + 1/13^2 +1/35^2 +1/37^2 + 1/59^2 +1/61^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(π/24)}^2

　　B1 +B2 +B3 +B4 +B5 +B6＝Z(2)＝π^2/8となる。

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　上記の事実からまず「Z(2)は（つまりζ(2)は）、３分割の分身たちに分かれる」ことが言えます。これはこれまで見てきたゼータ分割そのものであり、当然成立しています。OKです。

　次に「３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる」ことが言えるのですが、わかりますでしょうか。　

　すなわち、次のようにとなっているのです！

　 A1＝B1 +B6　----�@

　 A2＝B2 +B5　----�A

　 A3＝B3 +B4　----�B

　級数での成立は簡単にわかります（眺めればわかる）。また右辺値での成立も（級数での成立から自明ではありますが）、次のようにすれば容易に確かめられます。

三角関数において次式が成り立つ。

　1/{cos(π/2 -2x)}^2 ＝(1/4)[1/{cos(π/2 -x)}^2 +1/{cos(x)}^2]

　このxにπ/24、3π/24、5π/24を代入することで、�@、�A、�Bの右辺値での成立を確かめることができます。

よって「３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる」ことがわかりました。

　以上より、『ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。』と『３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。』が確認できました。

　これまでに確認できたのは次の６つのケースです。

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　ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。

　２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。

　４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。

　８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。

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　ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。

　３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。

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次回は、次を確かめたいと思います。

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　６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。

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以上。（杉岡幹生）

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