■双子素数予想の解決?(その38)

 双子素数予想のCは何を意味しているのだろうか? じつはxとx+2が素数となる確率は独立していないので,議論を修正しなければならない.そのための補正項がCとなるのである.任意に選んだ2数がともにpで割り切れない確率は(1−1/p)^2であるが,2つの数(n,n+2)は差が2なので,両方ともpで割り切れない確率は(1−2/p)である.

 よって,奇素数pに対しては係数

  (1−2/p)/(1−1/p)^2=p(p−2)/(p−1)^2

=1−1/(p−1)2

素数2に対しては2をかけて補正を行う必要がある.そのための補正係数が双子素数係数

  C=2Π(1−1/(p−1)2)=1.3203・・・

というわけである.

[Q](議論の修正が必要になるが)三つ子素数の分布予想のCを概算してみよう.

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 任意に選んだ3数がともにpで割り切れない確率は(1−1/p)^3であるが,3つの数(n,n+2,n+6)がとものpで割り切れない確率は(1−2/p)(1−6/p)である.

 よって,奇素数pに対しては係数

  (1−2/p)(1−6/p)/(1−1/p)^3=p(p−2)(p−6)/(p−1)^3

より

  C=Πp(p−2)(p−6)/(p−1)^3

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[Q](議論の修正が必要になるが)四つ子素数の分布予想のCを概算してみよう.

  C=Πp(p−2)(p−6)(p−8)/(p−1)^4

というわけである.

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[Q](議論の修正が必要になるが)nつ子素数の分布予想のCを概算してみよう.

 一般に,

  C=Π(p−a1)・・・(p−an)/(p−1)^n

  πa(x)〜Cx/(logx)^n

というわけである.

  n=2のとき,C=1.32032・・・

  n=4のとき,C=4,15118・・・

と数値計算されている.

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