今回は、下記/////〜////におけるζ(2)の分岐構造のうち『４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。』を確かめたいと思います。(『８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。』は略しますが、私の方でその成立は確認しています。)

次の※の所です。

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　ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。

　２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。

※４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。

※８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。　　・・・・・

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　あるいは、次のようにもなっている。

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　ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。

　３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。

　６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。　　・・・・・

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　あるいは、次のようにもなっている。

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　ζ(2)は、５分割の分身たちに分かれる。

　５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。

　１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる。　　・・・・・

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　あるいは・・と、素数を起点として無限に倍々ゲームで分岐していく。逆に無限の彼方から見れば・・⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒ζ(2) などとなっている。

　厳密には予想ですが、こんなふうになっているようです。

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では、今回は４分割の分岐構造を具体的に見ることにします。準備としてまず（その１５）での結果を再掲します。

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＜（その１５）での結果を再掲（一部修正）＞

　　Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝(3/4)ζ(2)＝π^2/8

　Z(2)は本質的にζ(2)に等しいものです。

■Z(2)４分割

B1＝ 1 +1/15^2 +1/17^2 +1/31^2 +1/33^2 +1/47^2 +・・＝(π/16)^2 /{cos(7π/16)}^2

B2＝1/3^2 +1/13^2 +1/19^2 +1/29^2 +1/35^2 +1/45^2 +・・＝(π/16)^2 /{cos(5π/16)}^2

B3＝1/5^2 +1/11^2 +1/21^2 +1/27^2 +1/37^2 +1/43^2 +・・＝(π/16)^2 /{cos(3π/16)}^2

B4＝1/7^2 +1/9^2 +1/23^2 +1/25^2 +1/39^2 +1/41^2 +・・＝(π/16)^2 /{cos(π/16)}^2

　　B1 +B2 +B3 +B4＝Z(2)＝π^2/8 となる。

■Z(2)８分割

C1 ＝ 1 +1/31^2 +1/33^2 +1/63^2 +1/65^2 +1/95^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(15π/32)}^2

C2＝1/3^2 +1/29^2 +1/35^2 +1/61^2 +1/67^2 +1/93^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(13π/32)}^2

C3＝1/5^2 +1/27^2 +1/37^2 +1/59^2 +1/69^2 +1/91^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(11π/32)}^2

C4＝1/7^2 +1/25^2 +1/39^2 +1/57^2 +1/71^2 +1/89^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(9π/32)}^2

C5＝1/9^2 + 1/23^2 +1/41^2 +1/55^2 +1/73^2 +1/87^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(7π/32)}^2

C6＝1/11^2 +1/21^2 +1/43^2 +1/53^2 +1/75^2 +1/85^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(5π/32)}^2

C7＝1/13^2 +1/19^2 +1/45^2 +1/51^2 +1/77^2 +1/83^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(3π/32)}^2

C8＝1/15^2 +1/17^2 +1/47^2 +1/49^2 +1/79^2 +1/81^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(π/32)}^2

　　C1 +C2 +C3 +C4 +C5 +C6 +C7 +C8＝Z(2)＝π^2/8 となる。

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　さて上記の結果から「Z(2)４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる」ことが言えるのですが、わかりますでしょうか。

　すなわち、

　 B1＝C1 +C8　----�@

　 B2＝C2 +C7　----�A

　 B3＝C3 +C6　----�B

　 B4＝C4 +C5　----�C

となっています。級数での成立は簡単にわかります（眺めればわかる）。また右辺値での成立も容易に確かめられる。

三角関数において次式が成り立つ。

　1/{cos(π/2 -2x)}^2 ＝(1/4)｛1/{cos(π/2 -x)}^2 +1/{cos(x)}^2｝

　このxにπ/32、3π/32、5π/32、7π/32を代入することで、�@、�A、�B、�Cの右辺値での成立を確かめることができます。

よって「２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。」となることがわかりました。

　以上より、冒頭で述べた構造のうち『４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。』が確認できました。

　省略しますが、私の方で『８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。』の成立も確認できました。これもＯＫでした。

　ここまでで確認できたのは次の４つのケースです。

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　ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。

　２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。

　４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。

　８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。

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　次回は次を確かめたいと思います。

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　ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。

　３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。

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以上。（杉岡幹生）

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