今回は虚2次体Q(√-5)ゼータLC(s)のLC(1)の１２分割を示します。

　LC(s)はディリクレのＬ関数L(χ,s)

　　Ｌ(χ,ｓ)＝χ(1)/1^s +χ(2)/2^s +χ(3)/3^s +χ(4)/4^s +χ(5)/5^s +χ(6)/6^s +χ(7)/7^s +・・

　の一種であり、次のものです。

　　LC(s)＝1 +1/3^s +1/7^s +1/9^s -/11^s -1/13^s -1/17^s　-1/19^s +・・

　LC(s)は虚2次体Q(√-5)のゼータ関数で、導手N=20を持つ。ディリクレ指標χ(n)は、n≡1 or 3 or 7 or 9 mod 20のときχ(n)＝1,　n≡11 or 13 or 17 or 19 mod 20のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。

LC(1)は次の通りです。

　LC(1)＝1 +1/3 +1/7 +1/9 -/11 -1/13 -1/17　-1/19 +1/21 +1/23 +1/27 +1/29 -/31 -1/33 -1/37　-1/39 +・・・＝π/√5 ------�@

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　それでは、LC(1)の１２分割を示します。※を無視した残りの１２個で１２分割となります。次のようにL(1)１５分割を利用しているため、あえて※を残しました。

■LC(1)１２分割

　B1＝ 1 -1/59 +1/61 -1/119 +1/121 -1/179 + ・・ ＝(π/60)tan(29π/60)

　B2＝1/3 -1/57 +1/63 -1/117 +1/123 -1/177 +・・ ＝(π/60)tan(27π/60)

※B3＝1/5 -1/55 +1/65 -1/115 +1/125 -1/175 +・・ ＝(π/60)tan(25π/60) ⇒無視

　B4＝1/7 -1/53 +1/67 -1/113 +1/127 -1/173 +・・ ＝(π/60)tan(23π/60)

　B5＝1/9 -1/51 +1/69 -1/111 +1/129 -1/171 +・・ ＝(π/60)tan(21π/60)

　B6＝1/11 -1/49 +1/71 -1/109 +1/131 -1/169 +・・ ＝(π/60)tan(19π/60)

　B7＝1/13 -1/47 +1/73 -1/107 +1/133 -1/167 +・・ ＝(π/60)tan(17π/60)

※B8＝1/15 -1/45 +1/75 -1/105 +1/135 -1/165 +・・ ＝(π/60)tan(15π/60) ⇒無視

　B9＝1/17 -1/43 +1/77 -1/103 +1/137 -1/163 +・・ ＝(π/60)tan(13π/60)

　B10＝1/19 -1/41 +1/79 -1/101 +1/139 -1/161 +・・ ＝(π/60)tan(11π/60)

　B11＝1/21 -1/39 +1/81 -1/99 +1/141 -1/159 + ・・ ＝(π/60)tan(9π/60)

　B12＝1/23 -1/37 +1/83 -1/97 +1/143 -1/157 + ・・ ＝(π/60)tan(7π/60)

※B13＝1/25 -1/35 +1/85 -1/95 +1/145 -1/155 + ・・ ＝(π/60)tan(5π/60) ⇒無視

　B14＝1/27 -1/33 +1/87 -1/93 +1/147 -1/153 + ・・ ＝(π/60)tan(3π/60)

　B15＝1/29 -1/31 +1/89 -1/91 +1/149 -1/151 + ・・ ＝(π/60)tan(π/60)

　　B1 +B2 +B4 +B5 -B6 -B7 -B9 -B10 +B11 +B12 +B14 +B15＝LC(1) となります。上記全式に対しExcelマクロで数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。

　上記B1〜B15はL(1)１５分割の分身たちであり、B1 -B2 +B3 -B4 +B5 -B6 +B7 -B8 +B9 -B10 +B11 -B12 +B13 -B14 +B15＝L(1)＝π/4となります。美しい秩序から成り立っています。

　L(1)１５分割はここではじめて示しました。

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　上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2)

　このxに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。

　xに29/30を代入すると、B1が得られる。

　xに27/30を代入すると、B2が得られる。

　xに25/30を代入すると、B3が得られる。 ⇒ 無視。25/30＝5/6代入であり、L(1)３分割の分身の一つと一致

　xに23/30を代入すると、B4が得られる。

　xに21/30を代入すると、B5が得られる。

　xに19/30を代入すると、B6が得られる。

　xに17/30を代入すると、B7が得られる。

　xに15/30を代入すると、B8が得られる。 ⇒無視。15/30＝1/2代入であり、L(1)１分割と一致

　xに13/30を代入すると、B9が得られる。

　xに11/30を代入すると、B10が得られる。

　xに 9/30を代入すると、B11が得られる。

　xに 7/30を代入すると、B12が得られる。

　xに 5/30を代入すると、B13が得られる。 ⇒無視。5/30＝1/6代入であり、L(1)３分割の分身の一つと一致

　xに 3/30を代入すると、B14が得られる。

　xに 1/30を代入すると、B15が得られる。

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　このようにLC(1)の１２分割が求まりました。上で言及したようにLC(1)の分身たちは、L(1)１５分割の分身たちの内の１２個から成ります。

　LC(1)は、L(1)のパーツB1〜B15のうちB1,B2,B4,B5,B6,B7,B9,B10,B11,B12,B14,B15から作られている。まとめて書くと、次となります。

　　L(1)＝ B1 -B2 +B3 -B4 +B5 -B6 +B7 -B8 +B9 -B10 +B11 -B12 +B13 -B14 +B15

　　LC(1)＝B1 +B2 +B4 +B5 -B6 -B7 -B9 -B10 +B11 +B12 +B14 +B15

　このようにLC(1)の分身たちは、L(1)の分身たち（の一部）から成っていることがわかりました。

　これまでの結果を以下に更新しておきます。下表の通りです。ただし新たに（注記）を加えました。

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　ζ(s)　リーマンゼータ、導手N＝1　　　　　　 ⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LE(s)　虚2次体Q(√-6)ゼータ、導手N＝24　　 ⇒ 4/8/12分割可能である。4n分割可能と考えられる（予想）。4n分割が最良か（問題）。

　 LC(s)　虚2次体Q(√-5)ゼータ、導手N＝20　　 ⇒ 4/8分/12割可能である。4n分割可能と考えられる（予想）。4n分割が最良か（問題）。

　ここで、nは1以上の整数。

（注記）上記分割はタンジェント部分分数展開式のxにq/pを、pを固定し1<=q<pの範囲でqを変化させる形で次々に代入した場合の分割を対象とする。(pは1以上の整数、qは1以上の奇数)

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