【４】図形数のパズル

　ガードナーは三角数，四角数，三角錐数，四角錐数などの図形数の間で互いに等しいものを問題としています．今回のコラムでは△＝□と四角錐数＝四角数（リュカの問題）を扱いましたが，これらの対６組のなかで三角数＝四角錐数以外はすべて解かれています．

　三角数＝四角錐数の問題は，楕円曲線

　　３（２ｙ＋１）^2＝８ｘ^3＋１２ｘ^2＋４ｘ＋３

なる方程式に帰着します．この整数解は有限ですが，ｘ＝−１，０，１，５，６，８５が解のすべてであるかどうかは不明です．

　一方，

　　ｙ^2＝（ｘ，０）＋（ｘ，１）＋（ｘ，２）＋（ｘ，３）

も楕円曲線

　　６ｙ^2＝（ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋６）

になり，整数解は有限個ですが，この方程式の解はｘ＝−１，０，２，７，１５，７４，７６７ですべてであることが示されています．

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