今回は虚2次体Q(√-5)ゼータLC(s)のLC(1)の８分割を示します。

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　LC(s)はディリクレのＬ関数L(χ,s)

　　Ｌ(χ,ｓ)＝χ(1)/1^s +χ(2)/2^s +χ(3)/3^s +χ(4)/4^s +χ(5)/5^s +χ(6)/6^s +χ(7)/7^s +・・

　の一種であり、次のものです。

　　LC(s)＝1 +1/3^s +1/7^s +1/9^s -/11^s -1/13^s -1/17^s　-1/19^s +・・

　LC(s)は虚2次体Q(√-5)のゼータ関数で、導手N=20を持つ。

　ディリクレ指標χ(n)は、n≡1 or 3 or 7 or 9 mod 20のときχ(n)＝1,　n≡11 or 13 or 17 or 19 mod 20のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。

LC(1)は次の通りです。

　LC(1)＝1 +1/3 +1/7 +1/9 -/11 -1/13 -1/17　-1/19 +1/21 +1/23 +1/27 +1/29 -/31 -1/33 -1/37　-1/39 +・・・＝π/√5 ------�@

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　それでは、LC(1)の８分割を示します。※を無視した残りの８つで８分割となります。次のようにL(1)１０分割を利用しているため、あえて※を残しました。

■LC(1)８分割

　B1＝ 1 -1/39 +1/41 -1/79 +1/81 -1/119 +・・ ＝(π/40)tan(19π/40)

　B2＝1/3 -1/37 +1/43 -1/77 +1/83 -1/117 +・・＝(π/40)tan(17π/40)

※B3＝1/5 -1/35 +1/45 -1/75 +1/85 -1/115 +・・＝(π/40)tan(15π/40) ⇒無視

　B4＝1/7 -1/33 +1/47 -1/73 +1/87 -1/113 +・・ ＝(π/40)tan(13π/40)

　B5＝1/9 -1/31 +1/49 -1/71 +1/89 -1/111 +・・ ＝(π/40)tan(11π/40)

　B6＝1/11 -1/29 +1/51 -1/69 +1/91 -1/109 +・・ ＝(π/40)tan(9π/40)

　B7＝1/13 -1/27 +1/53 -1/67 +1/93 -1/107 +・・ ＝(π/40)tan(7π/40)

※B8＝1/15 -1/25 +1/55 -1/65 +1/95 -1/105 +・・ ＝(π/40)tan(5π/40) ⇒無視

　B9＝1/17 -1/23 +1/57 -1/63 +1/97 -1/103 +・・ ＝(π/40)tan(3π/40)

　B10＝1/19 -1/21 +1/59 -1/61 +1/99 -1/101 +・・ ＝(π/40)tan(π/40)

　　B1 +B2 +B4 +B5 -B6 -B7 -B9 -B10＝LC(1) となります。上記全式に対しExcelマクロで数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。

　上記B1〜B10はL(1)１０分割の分身たちであり、B1 -B2 +B3 -B4 +B5 -B6 +B7 -B8 +B9 -B10＝L(1)となります。きれいな秩序から成り立っています。

　L(1)１０分割は既に（その２１）で見ました。

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　上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2)

　このxに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。

　xに19/20を代入すると、B1が得られる。

　xに17/20を代入すると、B2が得られる。

　xに15/20を代入すると、B3が得られる。 ⇒ 無視。15/20＝3/4代入であり、L(1)２分割の分身と一致

　xに13/20を代入すると、B4が得られる。

　xに11/20を代入すると、B5が得られる。

　xに 9/20を代入すると、B6が得られる。

　xに 7/20を代入すると、B7が得られる。

　xに 5/20を代入すると、B8が得られる。 ⇒無視。5/20＝1/4代入であり、L(1)２分割の分身と一致

　xに 3/20を代入すると、B9が得られる。

　xに 1/20を代入すると、B10が得られる。

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　このようにしてLC(1)の８分割が求まりました。上で言及したようにLC(1)の分身たちは、L(1)１０分割の分身たちの内の８つと同じです。

　LC(1)は、L(1)のパーツB1〜B10のうちB1,B2,B4,B5,B6,B7,B9,B10から作られている。まとめて書くと、次のようになります。

　　L(1)＝ B1 -B2 +B3 -B4 +B5 -B6 +B7 -B8 +B9 -B10　

　　LC(1)＝B1 +B2 +B4 +B5 -B6 -B7 -B9 -B10

　このようにLC(1)の分身たちは、L(1)の分身たち（の一部）から成っていることがわかりました。

　さらに�@よりLC(1)＝π/√5 ですから、LC(1)の分身たちの特殊値のtan()に着目すると、次式が成り立ちます。

　　(π/40)｛tan(19π/40) +tan(17π/40) +tan(13π/40) +tan(11π/40) -tan(9π/40) -tan(7π/40) -tan(3π/40) -tan(π/40)｝＝π/√5

　tan()につく＋,−とtan()の()内の分子に注目すれば、その一連の並びが冒頭の虚2次体Q(√-5)のディリクレ指標χ(n)に(+、-が逆転した形で)従っていることにも着目してください。

　これまでの結果を更新しておきます。

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　ζ(s)　リーマンゼータ、導手N＝1　　　　　　 ⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LE(s)　虚2次体Q(√-6)ゼータ、導手N＝24　　 ⇒ 4/8/12分割可能である。4n分割可能と考えられる（予想）。4n分割が最良か（問題）。

　 LC(s)　虚2次体Q(√-5)ゼータ、導手N＝20　　 ⇒ 4/8分割可能である。

注記：nは1以上の整数　　以上。（杉岡幹生）

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