■4n−1型素数(その6)

 フェルマー数: Fn=2^(2^n)+1

には簡単な漸化式

  Fn+1=(Fn−1)^2+1

  Fn+1−2=Fn(Fn−2)

  Fn−2=F0F1・・・Fn-1

を満たしている.

  Fn+1=(Fn−1)^2+1

  Sn=(Sn-1)^2−2

の類似性に注意.Snも2重指数で与えられる数になる.

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[Q]x0=m,mは2より大きい整数とする.このとき

   xn=(xn-1)^2−2,

の一般項を求めよ.

[A]α+1/α=m,α>1とすると,帰納法より

  xn=α^(2^n)+α^-(2^n)

 これはxn=[α^(2^n)]と等価である.

 たとえば,m=3のとき,

  α+1/α=3

  α^2−3α+1=0,α=(3+√5)/2=φ^2

  xn=[φ^(2^n+1)]

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