＜ゼータ分割に関する種々の予想　ver 2.7＞

（その６２）での「ゼータ分割の種々の予想」を改訂したので、以下示します(ver2.5⇒ver 2.7)。

＜ つぶやき、結果 ＞に私の独断と偏見の意見や、結果を書きました。KONO氏が新種のL(1)２分割を発見されました。

[改訂履歴(ver2.5⇒ver2.7)]

●『［２］（３）分身たち（分割級数）でリーマン予想は成り立つか。』は不成立とわかったので削除。

●『[８]ゼータの分割は、一意に実現されることを証明せよ。』は間違いだったので削除。例えば、L(1)２分割の場合、次のように一意ではないことは明らか。例えばL(1)３分割のA1,A2,A3を使って、A1-A2とA3でL(1)２分割が構成できる。このような組み合わせで別種の２分割を構成できる。よって一意でない。他の分割でも同様。

　この結果に付随して『[３]　代数方程式との関係』も削除。[３]以降の番号を繰り上げ。

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[１]ゼータの分割は、ζ(s)を含むL(χ,s)の１次のゼータのみならず、２次以上のｎ次ゼータでも実現されるのではないか。

　　例えば、２次の保型形式ゼータ（楕円曲線ゼータ）も分割できるのではなかろうか。

[２]　関数等式など

（１）それぞれの分身たちに対し、関数等式は存在するか。

（２）テイラーシステム（12年前開発）を使って、分身たち（分割級数）の特殊値を導出せよ。

[３]　非明示特殊値での分割

　　非明示の特殊値をもつζ(3)、ζ(5)、ζ(7)・・やL(2)、L(4)、L(6)・・・を分割せよ。非明示のＬ(χ,ｓ)も行うこと。

[４]岩澤理論、クンマーの理論、イデアル類群との関連

（１）例えば、ζ(12)の特殊値”691π^2/638512875”について、分子に突然691という素数が出現する理由をクンマーの理論や岩澤理論とは別視点から説明せよ。

　　　ζ(12)分割級数の生成核関数を使えば、691が出現する理由がわかるのではないか。

（２）類数（イデアル類群の位数）と分割級数（ゼータの分身たち）を結びつけよ。

　　例えば（その５６）で見た「虚2次体Q(√-2)ゼータL2(1)の分身たち」と「虚2次体Q(√-2)の類数h」との次の興味深い関係式をさらに深めよ（一般化せよ）。

　　　■虚2次体Q(√-2)の類数h（h＝1）とL2(1)６分割と８分割との間に成り立つ関係式。

　　　[６分割の場合]

　　　　h＝(1/(6√2))｛tan(11π/24) +tan(9π/24) -tan(7π/24) -tan(5π/24) +tan(3π/24) +tan(π/24)｝

　　　[８分割の場合]

　　　　h＝(1/(8√2))｛tan(15π/32) +tan(13π/32) -tan(11π/32) -tan(9π/32) +tan(7π/32) +tan(5π/32) -tan(3π/32) -tan(π/32)｝

　　　　右辺を計算すると、どちらもh＝1となる。

　　　すなわち、ここでのテーマは、

　　　　　　２次体の類数（代数的な量）＝Ｌ(χ,ｓ)ゼータの値（解析的な量）

　　　という関係性を、類数公式や岩澤理論とは違う方向から別種の形で打ち立てよ、ということ。

[５]（その１８）〜（その２０）で提示した次の予想は解けないか？　「分子係数和＝分母係数予想」と名付ける。

＜分子係数和＝分母係数予想＞

　『ζ(2n)、L(2n-1)を分割した結果に関し、分子のsin式におけるsin項の係数の和（定数項も含む）と、分母cosにかかる係数は一致するだろう。nは1以上の整数。』

　例えば、（その２０）で見たZ(10)２分割の分身の一つA1では、次のように成り立つ。（当然分身A2でも成立⇒(その２０)）

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　Z(10)のA1の値は次の通り。

　A1＝α^10 {62+1072(sβ)^2+1452(sβ)^4+247(sβ)^6+2(sβ)^8}/{2835(cβ)^10}

　分子のsin係数の和＝62+1072+1452+247+2＝2835、 分母のcos係数＝2835

　よって、予想は成り立っている。

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　注記1:α＝π/8, β＝3π/8であり、sinは”s”, cosは”c”と略記している。

　注記2：Z(10)＝1 +1/3^10 +1/5^10 +1/7^10 +1/9^10 +・・＝(1-1/2^10)ζ(10)であり、Z(10)はζ(10)と本質的に同じである。

[６]（その２５）〜（その２６）で提示した「奇数出現位置予想」は解けないか。

＜奇数出現位置予想＞

『分割されたζ(m)やL(m)の分身たちの特殊値の分子において、奇数は一度だけ出現する。さらに次の関係を満たすサイン位置pに奇数が出現する。奇数が掛かるサインsinの指数の値をpとすると、

　　　m + p＝2^n

　　ただし、分母と分子は最大限約分されているとする。ここでmは、ζ(m)では2以上の偶数、L(m)では1以上の奇数。nは1以上の整数。』

　例えば、Z(10)２分割の分身A1では、次のように成り立っている。（当然分身A2でも成立⇒(その２０)）

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　A1＝ α^10 {62+1072(sβ)^2+1452(sβ)^4+247(sβ)^6+2(sβ)^8}/{2835(cβ)^10}

　Z(10)を見ているので、m＝10である。分子には247という奇数が一度だけ出現している。247が掛かるサインsβは(sβ)^6であるからp＝6である。

　　10 + 6＝2^4

　よって、予想は成り立っている。

注記：α＝π/8, β＝3π/8であり、sinは”s”, cosは”c”と略記。

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　注記：Z(10)＝1 +1/3^10 +1/5^10 +1/7^10 +1/9^10 +・・＝(1-1/2^10)ζ(10)であり、Z(10)はζ(10)と本質的に同じである。

[７]　ゼータ関数は何分割可能かを分類せよ。現時点まででわかった結果は以下の通り。

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　ζ(s)　リーマンゼータ、導手N＝1　　　　　　 ⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LE(s)　虚2次体Q(√-6)ゼータ、導手N＝24　　 ⇒ 4/8/12分割可能である。4n分割可能と考えられる（予想）。4n分割が最良か（問題）。

　 LB(s)　実2次体Q(√3)ゼータ、導手N＝12 　　 ⇒ 4分割可能である。

　注記：nは1以上の整数

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＜ つぶやき、結果 ＞

[１]　これは壮大なテーマである。２次のゼータでも現代数学ではわからないことだらけ。一般のｎ次ゼータの分割など夢のまた夢。

[２]（１）テイラーシステムですこし計算したところ、分割ゼータ（分割級数）の関数等式は存在するような気がする。

　　　注記：テイラーシステムは、ζ(s)やL(s)の”任意の実数点”の特殊値が簡単に導出できる超強力マシーン。

（２）分割ゼータの関数等式がわかればできるんだろうが、むずかしい。いったん休止。

[３]　非明示L(2)の２分割に成功！！（その４８）で報告。しかし明示的な場合と違って、非明示は計算が非常にたいへん。だからまだこの一つだけ。

[４]

（１）ゼータの分割は、ある意味で岩澤理論とは別方向からゼータ特殊値のふしぎを解明する理論であると思う。

（２）円分体やイデアル類群とゼータの分身たちは関係しているはず。その関係をつかみたい。

[５]と[６]はどっちが難しいか？　独断と偏見で[６]の方が難しい。

[７]ちょっとずつ進展。「2n分割可能」とか「3n分割可能」とかのゼータも出てきた。この分野は巨大すぎて私だけやっていても進みが遅く・・　　多くの人の参加を期待します。

　KONO氏が、新種のL(1)２分割を発見された。

　B1＝1 -1/3 +1/9 -1/11 +・・＝π/8 -(√2/4)ln(√2-1)

B2＝1/5 -1/7 +1/13 -1/15 +・・＝ π/8 +(√2/4)ln(√2-1)

　　　B1 +B2＝L(1)＝π/4である。面白い結果である！！　次の結果と比較されたし

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　■L(1)２分割

　A1＝ 1 - 1/7 +1/9 -1/15 + 1/17 -1/23 +・・ ＝ (π/8)tan(3π/8)

　A2＝1/3 -1/5 +1/11 -1/13 + 1/19 -1/21 +・・＝ (π/8)tan(π/8)

　　　A1 -A2＝L(1)＝π/4 である。tan()は次の通り⇒　tan(3π/8)＝1 +√2、tan(π/8)＝ -1 +√2

（ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造　その１４）から。http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12043_z2.htm

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以上。（杉岡幹生）

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