４ｎ＋１型素数は２つの平方数の和に分解される．

　　５＝１^2＋２^2

　　１３＝２^2＋３^2

　　１７＝１^2＋４^2

　　２９＝２^2＋５^2

　　３７＝１^2＋６^2

　　４１＝４^2＋５^2

　次に，５，１３，１７，２９，３７，４１の平方について調べてみよう．

　　５^2＝３^2＋４^2

　　１３^2＝５^2＋１２^2

　　１７^2＝１５^2＋８^2

　　２９^2＝２１^2＋２０^2

　　３７^2＝３５^2＋１２^2

　　４１^2＝９^2＋４０^2

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　　（ａ^2＋ｂ^2）^2＝（ａ^2−ｂ^2）^2＋（２ａｂ）^2ｰ

　　５＝１^2＋２^2　→　ａ^2＝１^2，ｂ^2＝２

これを上式に代入すると

　　５^2＝３^2＋４^2

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