２次方程式

　　ｘ^2＋ｘ＋４１＝０

の解は

　　ｘ＝１／２（−１±√−１６３）

であり，虚２次体Ｑ（√−１６３）の理論と深く関係しているのですが，この不思議な性質も類数１に関するラビノヴィッチの定理から説明されます．

　同様に，１変数の２次多項式

　　ｎ^2＋ｎ＋１７

も高い確率で素数を生成しますが，ｄ＝−６７＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝１７ですから，虚２次体Ｑ（√−６７）と関係しているというわけです．

　　ｎ^2＋ｎ＋４１（０≦ｎ≦３９なるすべてのｎについて素数となる）

　　　←→　Ｑ（√−１６３）

でしたが，以下同様に

　　ｎ^2＋ｎ＋１７（０≦ｎ≦１５）　←→　Ｑ（√−６７）

　　ｎ^2＋ｎ＋１１（０≦ｎ≦９）　　←→　Ｑ（√−４３）

　　ｎ^2＋ｎ＋５（０≦ｎ≦３）　　　←→　Ｑ（√−１９）

　　ｎ^2＋ｎ＋３（０≦ｎ≦１）　　　←→　Ｑ（√−１１）

　　ｎ^2＋ｎ＋２（０≦ｎ≦０）　　　←→　Ｑ（√−７）

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　もうひとつの注目すべき事実は

　　ｘ＝ｅｘｐ（π√ｄ）

が数値的にとても整数に近くなりうるというものです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝884736743.999777･･･

　　ｅｘｐ（π√６７）＝147197952743.99999866･･･

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝262537412640768743.99999999999925007･･･

　これは決して偶然の一致ではありません．ｘに対しては

　　ｘ−７４４＋１９６８８４／ｘ−２１４９３７６０／ｘ^2＋・・・

がぴったり整数になることがわかっています．これらの係数は重さ０のモジュラー関数においてｑ→−１／ｘとしたものです．

　ｘが大きいほど後半の項は小さな値となるので，ｘ自身は極めて整数（実は立方数）に近い数になるというわけです．

　　ｅｘｐ（π√４３）＝９６０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√６７）＝５２８０^3＋７４４−ε

　　ｅｘｐ（π√１６３）＝６４０３２０^3＋７４４−ε

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