φ（ｍ）は，ｍと互いに素であり，ｍより小さい整数ｒ，１≦ｒ＜ｍの個数として定義される．すなわち，φ（ｍ）は１からｍ−１までの整数のうち，ｍと公約数をもたない数はいくつあるかを数えた数を表す．

　ｍ＝９→１，２，４，５，７，８→φ（９）＝６

　ｍ＝１０→１，３，７，９→φ（１０）＝４

　φ（１）＝１，φ（２）＝１，φ（３）＝２，φ（４）＝２

　φ（５）＝４，φ（６）＝２，φ（７）＝６，φ（８）＝４

　φ（９）＝６，φ（１０）＝４，

　φ（ｐ）＝ｐ−１

　φ（ｐ^a）＝（ｐ−１）ｐ^(a-1)＝ｐ^a（１−１／ｐ）

　φ（ｍ）＝ｍΠ（１−１／ｐi）

　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

　φ（２６）＝２６（１−１／２）（１−１／１３）＝１２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　φ（ｍ）はかなり変動する関数である．たとえば，

　　φ（２９）＝２８，φ（３０）＝８，φ（３１）＝３０，φ（３２）＝１６

　しかし，φ（ｍ）の漸近的性質を考えると，オイラーのトーション関数は，無作為に選んだ２数が公約数をもたない確率などに関係していて

　　φ（ｍ）／ｍの平均値は６／π^2〜０．６１に近づく．

これは無作為にとった整数が，２乗の因数をもたない確率でもある．

　　φ（ｍ）の平均／ｍ〜（Σ１／ｍ^2）^-1〜６／π^2

　　１／ｎ・Σφ（ｋ）／ｋ〜６／π^2

　　１／ｎ^2・Σφ（ｋ）〜３／π^2

　同じことではあるが，Φ（ｎ）＝Σφ（ｋ）とおくと

　　３／π^2＝ｌｉｍΦ（ｎ）／ｎ^2

　また，コラム「学会にて（京大数理解析研，その１）」では

　位数ｎのファレイ数列の長さは，オイラー関数φ（ｎ）を用いて，

　　１＋φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ−１）＋φ（ｎ）

　〜３（ｎ／π）^2〜０．３０３９６ｎ^2

になる．この近似はｎが大きくなるにつれてよくなっていく．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝