ヘロンの四面体は各辺の長さがすべて整数，各面の面積と体積がすべて有理数の四面体である．

　ヘロンの公式とは，任意の三角形の三辺の長さをａ，ｂ，ｃ，面積をΔとして，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られる．

　また，四面体ＡＢＣＤ（ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ＤＡ＝ｄ，ＤＢ＝ｅ，ＤＣ＝ｆ）とおくと，その体積は

　　１４４Ｖ^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｂ^2ｆ^2ｄ^2−ｃ^2ｄ^2ｅ^2

で与えられる．

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　四面の面積

（８４，１１７，５１）→１２６・４２・９・７５＝１８９０^2

（５１，５３，５２）→７８・２７・２５・２６＝１１７０^2

（５２，８０，８４）→１０８・５６・２８・２４＝２０１６

（１１７，５３，８０）→１２５・８・７２・４５＝１８００^2

ａ＝８４，ｂ＝１１７，ｃ＝５１

ｄ＝５３，ｅ＝５２，ｆ＝８０

ａ^2＝７０５６，ｂ^2＝１３６８９，ｃ^2＝２６０１

ｄ^2＝２８０９，ｅ^2＝２７０４，ｆ^2＝６４００

（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）＝１５５２９

（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）＝２４７３

（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）＝１７２５７

Ｖ＝１８１４４

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