φ^12〜１４４√５

と近似したが，φ^nについては近似する必要はない．

　　φ^12＝１４４φ＋８９

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　黄金比φを公比とする等比数列

　　１，φ，φ^2 ，φ^3，φ^4 ，φ^5 ，・・・

を考えると，１＋φ＝φ^2ですから

　　φ^2＝φ＋１

　　φ^3＝φ^2φ＝φ^2＋φ＝２φ＋１

　　φ^4＝φ^3φ＝２φ^2＋φ＝３φ＋２

　　φ^5＝φ^4φ＝３φ^2＋２φ＝５φ＋３

とするのと同じ要領で次数を低下させます．

　黄金比φには多く性質があり，ここで，ガウス記号［ｘ］（ｘを超えない最大の整数）を用いると，数列｛［φ^n-1］｝の各次数に対応して得られる整数列は

　　１，１，２，３，５，８，１３，・・・

すなわち，フィボナッチ数列｛Ｆn｝となります．

　フィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，１３，・・・

を０からあるいは負の数から出発する場合に拡張してみます．

　　・・・，５．−３，２，−１，１，０，１，１，２，３，５，８，１３，・・・

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　これと同じことを１／φ，１／φ^2，１／φ^3，１／φ^4にも施したら，フィボナッチ数列は現れるのでしょうか？

　　１／φ＝φ−１

　　１／φ^2＝１−１／φ＝−φ＋２

　　１／φ^3＝−１＋２／φ＝２φ−３

　　１／φ^4＝２−３／φ＝−３φ＋５

　　１／φ^5＝−３＋５／φ＝５φ−８

負号はつきますが，負数に拡張したフィボナッチ数列となるようです．

　並べて書くと

　　１／φ^5＝５φ−８

　　１／φ^4＝−３φ＋５

　　１／φ^3＝２φ−３

　　１／φ^2＝−φ＋２

　　１／φ＝φ−１

　　１＝０φ＋１

　　φ＝φ

　　φ^2＝φ＋１

　　φ^3＝φ^2φ＝φ^2＋φ＝２φ＋１

　　φ^4＝φ^3φ＝２φ^2＋φ＝３φ＋２

　　φ^5＝φ^4φ＝３φ^2＋２φ＝５φ＋３

はすべてフィボナッチ数列で繋がります．

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　さらに

　　１，φ，φ^2 ，φ^3，φ^4 ，φ^5 ，・・・

　　１／φ，１／φ^2，１／φ^3，１／φ^4

に√５を掛けると，

　　√５／φ^4＝７φ−１１

　　√５／φ^3＝−４φ＋７

　　√５／φ^2＝３φ−４

　　√５／φ＝−φ＋３

　　√５＝２φ−１

　　√５φ＝φ＋２

　　√５φ^2＝３φ＋１

　　√５φ^3＝４φ＋３

　　√５φ^4＝７φ＋１

もすべてフィボナッチ数列で繋がります．

　　φ＋２＝φ^2＋１＝φ√５

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