■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その５５，杉岡幹生）
はじめにこれまでのゼータ分割の結果を示します。
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リーマンゼータζ(s)、導手N＝1 ⇒ n分割可能である。
L(s) 虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4 ⇒ n分割可能である。
LA(s) 虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3 ⇒ 1～10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。
LN(s) 実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5 ⇒ 2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。
LP(s) 虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7 ⇒ 3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。
L2(s) 虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8 ⇒ 2/4分割可能である。
注記：nは1以上の整数
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今回は（その５４）の続きで、Q(√-2)ゼータL2(1)の６分割、８分割を調べます。
L2(1)＝1 +1/3 -1/5 -1/7 +1/9 +1/11 -/13 -1/15 +1/17 +1/19 -1/21 -1/23 +・・ ------①
L2(s)はＬ(χ,ｓ)の一種の虚2次体Q(√-2)のゼータ関数で、導手N=8を持つ。
Ｌ(χ,1)＝χ(1)/1 +χ(2)/2 +χ(3)/3 +χ(4)/4 +χ(5)/5 +χ(6)/6 +・・・におけるディリクレ指標χ(n)は次の通り。
n≡1 or 3 mod 8のときχ(n)＝1, n≡5 or 7 mod 8のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。
さて、（その５４）では言及し忘れましたが、①のL2(1)の値は一体いくらになるでしょうか？ じつはこの値はきれいに明示的に求まり次となります。
L2(1)＝π√2/4 -----②
これは「虚2次体の類数公式」という高度な公式を使えば求まります。他にもいろいろな導出方法があります。
私自身のことでいえば初等的な重回積分の方法や、また10年前に開発したテイラーシステムでもL2(1)の値を出していました。
http://www5b.biglobe.ne.jp/sugi_m/page073.htm
http://www5b.biglobe.ne.jp/sugi_m/page161.htm
①、②をまとめて次となります。
L2(1)＝1 +1/3 -1/5 -1/7 +1/9 +1/11 -/13 -1/15 +1/17 +1/19 -1/21 -1/23 +・・＝π√2/4 -----③
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それでは、L2(1)の６分割、８分割を示します。
■L2(1)６分割
A1＝ 1 -1/23 +1/25 -1/47 +1/49 -1/71 +・・ ＝(π/24)tan(11π/24)
A2＝ 1/3 -1/21 +1/27 -1/45 +1/51 -1/69 +・・ ＝(π/24)tan(9π/24)
A3＝ 1/5 -1/19 +1/29 -1/43 +1/53 -1/67 +・・ ＝(π/24)tan(7π/24)
A4＝ 1/7 -1/17 +1/31 -1/41 +1/55 -1/65 +・・ ＝(π/24)tan(5π/24)
A5＝ 1/9 -1/15 +1/33 -1/39 +1/57 -1/63 +・・ ＝(π/24)tan(3π/24)
A6＝ 1/11 -1/13 +1/35 -1/37 +1/59 -1/61 +・・＝(π/24)tan(π/24)
A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6＝L2(1) であることを確認ください。
上記６式は（その２１）と同じです。そこで見た通り、これら６式に対しExcelマクロで数値検証も行ないましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。
また右辺値の和”A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6”は、③のπ√2/4 に一致することを確認しました。
■L2(1)８分割
A1＝ 1 -1/31 +1/33 -1/63 +1/65 -1/95 +・・ ＝(π/32)tan(15π/32)
A2＝ 1/3 -1/29 +1/35 -1/61 +1/67 -1/93 +・・ ＝(π/32)tan(13π/32)
A3＝ 1/5 -1/27 +1/37 -1/59 +1/69 -1/91 +・・ ＝(π/32)tan(11π/32)
A4＝ 1/7 -1/25 +1/39 -1/57 +1/71 -1/89 +・・ ＝(π/32)tan(9π/32)
A5＝ 1/9 -1/23 +1/41 -1/55 +1/73 -1/87 +・・ ＝(π/32)tan(7π/32)
A6＝ 1/11 -1/21 +1/43 -1/53 +1/75 -1/85 +・・ ＝(π/32)tan(5π/32)
A7＝ 1/13 -1/19 +1/45 -1/51 +1/77 -1/83 +・・ ＝(π/32)tan(3π/32)
A8＝ 1/15 -1/17 +1/47 -1/49 +1/79 -1/81 +・・ ＝(π/32)tan(π/32)
A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6 -A7 -A8＝L2(1) であることを確認ください。
上記８式は（その１４）と同じです。そこで見た通り、これら８式に対しExcelマクロで数値検証も行ないましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。
また右辺値の和”A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6 -A7 -A8”は、③のπ√2/4 に一致することを確認しました
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上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を使います。
1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2)
xに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。
xに11/12を代入すると、L2(1)６分割のA1が得られる。
xに9/12を代入すると、L2(1)６分割のA2が得られる。
xに7/12を代入すると、L2(1)６分割のA3が得られる。
xに5/12を代入すると、L2(1)６分割のA4が得られる。
xに3/12を代入すると、L2(1)６分割のA5が得られる。
xに1/12を代入すると、L2(1)６分割のA6が得られる。
同様にして、L2(1)８分割でも、15/16,13/16,11/16,9/16,7/16,5/16,3/16,1/16を代入すれば、それぞれA1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8が求まります。
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L2(1)の６分割、８分割が求まりました。
（その５４）でも見たように、ここでも「L2(1)とL(1)は同じ基本パーツから作られている」という興味深い事実を確認しておきましょう。
”L(1)の”６分割、８分割は（その２１）、（その１１）で示しましたが、下記＜付録１＞でそれを抜粋したので見てください。
L(1)とL2(1)は、基本パーツ（A1, A2, ・・,An）によって次のように構成されている。
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L(1) ＝A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6
L2(1)＝A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6
L(1) ＝A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6 +A7 -A8
L2(1)＝A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6 -A7 -A8
注記：６分割のA1～A6と８分割のA1～A6は同じ記号を使っていますが、値が異なることに注意ください。
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このように両者は、全く同じ基本パーツから構成されているのです！ 違いはパーツの組み合わせ方（加減の演算）の違いだけです。
分身たち（基本パーツ）の組み合わせ方の違いだけで、違ったゼータになるというのは非常に面白い。ゼータの地下には深い構造が隠されていたといれるでしょう。
冒頭でせっかく「虚2次体の類数公式」に触れたので、それとゼータ分割との関連をすこし下方＜付録２＞で探りました。この方面も今後の大きなテーマです。
冒頭の表を更新しておきます。
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リーマンゼータζ(s)、導手N＝1 ⇒ n分割可能である。
L(s) 虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4 ⇒ n分割可能である。
LA(s) 虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3 ⇒ 1～10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。
LN(s) 実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5 ⇒ 2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。
LP(s) 虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7 ⇒ 3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。
L2(s) 虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8 ⇒ 2/4/6/8分割可能である。
注記：nは1以上の整数
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以上。（杉岡幹生）
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