準正多胞体という用語は，使う人によって定義が異なるので注意が必要である．三対性の正体が分かったところで，２種類のファセット

　　正単体Ｐ20＝αp+3

　　正軸体Ｐ11＝βp+3

をもつ３〜８次元の純アルキメデス立体Ｐ21（pure Archimedean polytope）について紹介したい．［０］〜［２］に三対性は成り立たないと思われる．

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［０］２次元（−２）21，頂点数２，α1

［１］３次元（−１）21，頂点数６，Ｅ3＝Ａ2×Ａ1，α2×α1

［２］４次元０21，　　　頂点数１０，Ｅ4＝Ａ4，ｔ1α4

［３］５次元１21，　　　頂点数１６，Ｅ5＝Ｄ5，ｈγ5

［４］６次元２21，　　　頂点数２７，Ｅ6

［５］７次元３21，　　　頂点数５６，Ｅ7

［６］８次元４21，　　　頂点数２４０，Ｅ8

［７］９次元５21，　　　頂点数∞，Ｅ9＝Ｅ8~

　Ｅ8の位数は

　　２４０・５６・２７・１６・１０・６・２

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　なお，

　　１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＞１

でなく

　　１／（ｐ＋１）＋１／（ｑ＋１）＋１／（ｒ＋１）＞１

より，

　　（ｐ＋１）（ｑ＋１）＋（ｑ＋１）（ｒ＋１）＋（ｒ＋１）（ｐ＋１）＞（ｐ＋１）（ｑ＋１）（ｒ＋１）

　　（ｐ＋１）（ｑ＋１）＋（ｑ＋１）（ｒ＋１）＋（ｒ＋１）（ｐ＋１）＞（ｐ＋１）（ｑ＋１）（ｒ＋１）

　　ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ＋２（ｐ＋ｑ＋ｒ）＋３＞ｐｑｒ＋ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ＋（ｐ＋ｑ＋ｒ）＋１

　　ｎ＝ｐ＋ｑ＋ｒ＋１＞ｐｑｒ−１

が従う．

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