■DE群多面体の面数公式(その318)

 E群には

  cos2ρ=1/8,cos^2σ=1/8,cosσ=1/2√2

  cos2ρ=2cos^2ρ−1=1/8,cos^2σ=1/8

  cosρ=3/4,cos2σ=2cos^2σ−1=−3/4

  sinρ=√7/4,sin2σ=√7/4

  cos(ρ+2σ)=−9/16−7/16=−1

  ρ+2σ=π

となる二面角が存在するはずである.

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 ファセットは1辺の長さ2のα4とβ4.a5,b5は121とファセットの中心との距離とすると,

[1]αn:aj=(2/j(j+1))^1/2

[2]βn:aj=(2/j(j+1))^1/2,an=(2/n)^1/2

 R^2=1+1/3+1/6+1/10+a5^2=5/2

=1+1/3+1/6+2/4+b5^2

 1+1/3+1/6=(6+2+1)/60=3/2

 R^2=3/2+2/4+b5^2=3/2+1/10+a5^2=5/2

 a5^2=(25−15−1)/10=9/10

 b5^2=(25−15−5)/10=1/2

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 121の基本単体の頂点は,ρについて

P0(0,0,0,0,0)

P1(1,0,0,0,0)

P2(1,1/√3,0,0,0)

P3(1,1/√3,1/√6,0,0)

P4(1,1/√3,1/√6,1/√10,0)

P5(1,1/√3,1/√6,1/√10,3/√10)

σについて

P0(0,0,0,0,0)

P1(1,0,0,0,0)

P2(1,1/√3,0,0,0)

P3(1,1/√3,1/√6,0,0)

P4(1,1/√3,1/√6,1/√2,0)

P5(1,1/√3,1/√6,1/√2,1/√2)

 この二面角を求めるために,5超平面

 a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5=d

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