■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その５３，杉岡幹生）
これまでのゼータ分割の結果をまず示します。
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リーマンゼータζ(s)、導手N＝1 ⇒ n分割可能。
L(s) 虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4 ⇒ n分割可能。
LA(s) 虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3 ⇒ 1～10分割可能。n分割可能と考えられる（予想）。
LN(s) 実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5 ⇒ 2/4/6/8/10/12分割可能。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。
LP(s) 虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7 ⇒ 3/6/9分割可能。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。
注記：nは1以上の整数
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今回は、６分割、９分割を出した（その４７）からの続きで、LP(s)の１２分割を導出しましたので以下報告します。
LP(s)＝1 +1/2^s -1/3^s +1/4^s -1/5^s -1/6^s +1/8^s +1/9^s -1/10^s +1/11^s -1/12^s -1/13^s +・・
（虚2次体Q(√-7)ゼータ。ディリクレ指標χ(n)は次の通り。n≡1 or 2 or 4 mod 7のときχ(n)＝1, n≡3 or 5 or 6 mod 7のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0）
s＝1のLP(1)の１２分割を試みます。
LP(1)＝1 +1/2 -1/3 +1/4 -1/5 -1/6 +1/8 +1/9 -1/10 +1/11 -1/12 -1/13 +・・ -------①
はじめに少し準備します。①は次のように変形できる。（これは（その４６）でも記しましたが再掲します）
LP(1)＝1 +1/2 -1/3 +1/4 -1/5 -1/6 +/8 +1/9 -1/10 +1/11 -1/12 -1/13 +・・・
＝1 -1/3 -1/5 +1/9 +1/11 -1/13 +1/15 -1/17 -1/19 +1/23 -1/25 -1/27 +・・・
+1/2(1 +1/2 -1/3 +1/4 -1/5 -1/6 +/8 +1/9 -1/10 +1/11 -1/12 -1/13 +・・・)
＝1 -1/3 -1/5 +1/9 +1/11 -1/13 +/15 -1/17 -1/19 +1/23 +1/25 -1/27 +・・・
+1/2･LP(1)
右辺の２項目を移項して整理すると、次となる。
1 -1/3 -1/5 +1/9 +1/11 -1/13 +/15 -1/17 -1/19 +1/23 -1/25 -1/27 +・・・＝1/2LP(1)
ここで、1 -1/3 -1/5 +1/9 +1/11 -1/13 +/15 -1/17 -1/19 +1/23 -1/25 -1/27 +・・・＝Lp(1)
とおくと、
Lp(1)＝1/2LP(1) -----②
これより、Lp(1)はLP(1)と本質的に同じとわかります。以下でLp(1)が出てきます。
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１２分割の結果を示します。分割に関係のない級数は”⇒無視”としました。
■Lp(1)１２分割
A1＝ 1 -1/55 +1/57 -1/111 +1/113 -1/167 + ・・ ＝(π/56)tan(27π/56)
A2＝ 1/3 -1/53 +1/59 -1/109 +1/115 -1/165 +・・ ＝(π/56)tan(25π/56)
A3＝ 1/5 -1/51 +1/61 -1/107 +1/117 -1/163 +・・ ＝(π/56)tan(23π/56)
A4＝ 1/7 -1/49 +1/63 -1/105 +1/119 -1/161 +・・ ＝(π/56)tan(21π/56) ⇒無視
A5＝ 1/9 -1/47 +1/65 -1/103 +1/121 -1/159 +・・ ＝(π/56)tan(19π/56)
A6＝ 1/11 -1/45 +1/67 -1/101 +1/123 -1/157 +・・ ＝(π/56)tan(17π/56)
A7＝ 1/13 -1/43 +1/69 -1/99 +1/125 -1/155 +・・ ＝(π/56)tan(15π/56)
A8＝ 1/15 -1/41 +1/71 -1/97 +1/127 -1/153 +・・ ＝(π/56)tan(13π/56)
A9＝ 1/17 -1/39 +1/73 -1/95 +1/129 -1/151 +・・ ＝(π/56)tan(11π/56)
A10＝1/19 -1/37 +1/75 -1/93 +1/131 -1/149 +・・ ＝(π/56)tan(9π/56)
A11＝1/21 -1/35 +1/77 -1/91 +1/133 -1/147 +・・ ＝(π/56)tan(7π/56) ⇒無視
A12＝1/23 -1/33 +1/79 -1/89 +1/135 -1/145 +・・ ＝(π/56)tan(5π/56)
A13＝1/25 -1/31 +1/81 -1/87 +1/137 -1/143 +・・ ＝(π/56)tan(3π/56)
A14＝1/27 -1/29 +1/83 -1/85 +1/139 -1/141 +・・ ＝(π/56)tan(π/56)
②を参照して、A1 -A2 -A3 +A5 +A6 -A7 +A8 -A9 -A10 +A12 +A13 -A14＝Lp(1) であることを確認ください。Excelマクロで全式を数値検証しましたが、左辺の級数は右辺値に一致しました。右辺値の”A1 -A2 -A3 +A5 +A6 -A7 +A8 -A9 -A10 +A12 +A13 -A14”もLp(1)の級数の収束値に一致しました。
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上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を使います。
Ｇ[1](x)＝1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2)
このxに次のように値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。
Ｇ[1](x)のxに27/28を代入すると、A1が得られる。
Ｇ[1](x)のxに25/28を代入すると、A2が得られる。
Ｇ[1](x)のxに23/28を代入すると、A3が得られる。
Ｇ[1](x)のxに21/28を代入すると、A4が得られる。 ⇒無視。21/28代入は3/4代入であり、L(1)２分割の一方が出る。A4は下のA11と対。（その１４）参照。
Ｇ[1](x)のxに19/28を代入すると、A5が得られる。
Ｇ[1](x)のxに17/28を代入すると、A6が得られる。
Ｇ[1](x)のxに15/28を代入すると、A7が得られる。
Ｇ[1](x)のxに13/28を代入すると、A8が得られる。
Ｇ[1](x)のxに11/28を代入すると、A9が得られる。
Ｇ[1](x)のxに 9/28を代入すると、A10が得られる。
Ｇ[1](x)のxに 7/28を代入すると、A11が得られる。 ⇒無視。7/28代入は1/4代入であり、L(1)２分割の一方が出る。A11は上のA4と対。（その１４）参照。
Ｇ[1](x)のxに 5/28を代入すると、A12が得られる。
Ｇ[1](x)のxに 3/28を代入すると、A13が得られる。
Ｇ[1](x)のxに 1/28を代入すると、A14が得られる。
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このようにLp(1)すなわちLP(1)の分身たちが求まりました。
見てきたようにLP(s)の分割では、３分割から始まります。それは導手NがN=7であることに関係していたのでした。1/7, 3/7, 5/7と分子に三つの奇数が出る形であるため３分割スタートとなります。したがって３分割×n＝３ｎ分割可能、すなわち、３分割、６分割、９分割、１２分割・・が可能となります。そのため、９分割の次は１２分割となったのです。
LP(s)は３ｎ分割可能と考えられますが（予想）、３ｎ分割が最良なのでしょうか？
今回の１２分割では１４個の分身候補が出てきます。その中で二つが無視され、１４－２＝１２となり、１２分割が実現されています。ゼータ分割は、このような非常にきれいな構造から成り立っています。
さらに、分身たちを合わせた”A1 -A2 -A3 +A5 +A6 -A7 +A8 -A9 -A10 +A12 +A13 -A14”の右辺値tan()の（）内の分子も、冒頭のディリクレ指標χ(n)に従っています（この場合は、全体の符号を逆にした形で従う）。これまで何度か言及しましたが、これも美しいものです。
冒頭の表を更新しておきます。
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リーマンゼータζ(s)、導手N＝1 ⇒ n分割可能。
L(s) 虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4 ⇒ n分割可能。
LA(s) 虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3 ⇒ 1～10分割可能。n分割可能と考えられる（予想）。
LN(s) 実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5 ⇒ 2/4/6/8/10/12分割が可能。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。
LP(s) 虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7 ⇒ 3/6/9/12分割可能。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。
注記：nは1以上の整数
=================================== 以上。（杉岡幹生）
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