■オイラーと無限級数(その21)

 幾何級数

Σ1/2^k=1/2+1/4+1/8+1/16+・・・=1

に対して

Σ1/k2^k=1/1・2+1/2・4+1/3・8+1/4・16+・・・

=log2

 この無限級数は2進法で表したlog2のある特定の桁(たとえば1000兆桁目)の数字を計算するのに使える公式である.

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  log(1+x)/(1+x)=2(x+x^3/3+x^5/5+x^7/7+・・・)

 一方,

  arctanx=x−x^3/3+x^5/5−x^7/7+・・・

x=1遠くと,もうひとつのよく知られた結果(グレゴリー・ライプニッツ級数)

  1−1/3+1/5−1/7+・・・=π/4

が得られる.

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  logx=∫(1,x)dt/t

  arctanx=∫(0,x)dt/(1+t^2)

より,有理関数

  t/(at+b),(dt+e)/(at^2+bt+c)

の積分は,logxないしarctanxに帰着される.

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