■オイラーと無限級数(その19)

[Q]Σ1/n2^n=1/2+1/2・4+1/3・8+・・・=?

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 交代調和級数

  1−1/2+1/3−1/4+・・・+(−1)^n+11/n+・・・=log2

はよく知られている.

 それに対して,オイラーが導いた級数

Σ1/k2^k=1/1・2+1/2・4+1/3・8+1/4・16+・・・

=log2

はあまり知られていないと思う.この公式は2進法で表したlog2のある特定の桁(たとえば1000兆桁目)の数字を計算するのに使える公式となっている.

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[雑感] 「岩波数学公式」の調べてみたところ,

Σ1/k2^k=log2

は掲っていなかったが

Σ1/k^22^k=π^2/12−1/2・(log2)^2

が掲っていた.

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