ｎ次元球のkissing numberの上界は立体角による評価，すなわち，正四面体配置（相互に接するよう球を配置）の問題でしたが，それに対して，下界は極大格子状配置による評価，すなわち，

　　Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ｄ4，Ｄ5，Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8

の問題となります．

　たとえば，ｎ＝３のみならず，ｎ＝４，５の場合も面心立方格子状配置

　　（±１，±１，０）

　　（±１，±１，０，０）

　　（±１，±１，０，０，０）　　　（±１の個数は２つ）

では２ｎ（ｎ−１）個の球と接することができます．

　ｎ＝６，７，８では面心立方格子状配置の接触点以外にも隙間ができるので，隙間の分が加わって，それぞれ

　　６０＋１２＝７２

　　８４＋４２＝１２６

　　１１２＋１２８＝２４０

個の同じ大きさの球が詰め込み可能になります．（Ｅ6，Ｅ7，Ｅ8格子はそれぞれ接触数７２，１２６，２４０を与える．）

　この隙間は，９個の整数に対して法３で合同となるので，

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＝ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝６）

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＝ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝７）

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０　　（ｎ＝８）

であって，

　　１２×３＝４２，４２×３＝１２８

という関係にあり，Ｅ8では９個の球によって完全に充填した構造となっています．

　　　　　　 　第１層　　　　第２層　　　　第３層

　　Ｅ6 格子 　　７２　　　　２７０　　　　７２０

　　Ｅ7 格子 １２６　　　　７５６　　　２０７２

　　Ｅ8 格子 ２４０　　　２１６０　　　６７２０

　そして，最終的には簡単なグラフ的算法に帰着されるのですが，１≦ｎ≦８では

　　ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８

　　下界　２　　６　　12　　24　　40　　72　　126　 240

となり，ガウス記号を用いて

　　下界＝ｎ（［２^(n-2)／３］＋ｎ＋１）

の形にまとめられます．→（この式はｎ＞８に対しては成り立ちません．ｎ＝９のとき４６８となるのですが，コクセターの上界４０１よりも大きくなってしまうからです．）

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